小波变换分析信号的瞬时频率分析

姜 敏

[摘要]小波变换可以用来取代短时DFT,已经成为数字信号处理(DSP)的主流部分。在数字信号处理中,小波的尺度和频率有密切的关系。分析多个信号时不存在交差项的干扰,能够克服时频分布固有的缺点。

[关键词]小波变换信号频率

中图分类号:TM1文献标识码:A文章编号:1671-7597(2009)1210038-01

像Fourier序列一样,小波变换也是把一个信号分解成它的分量,对Fourier序列来说,分量是正弦和余弦(或等价的复指数),对小波变换来说,分量是小波。

小波变换对分析时变信号特别有用,也就是说特征随时间变化的信号。DFT不能将特性随时间变化的信号(即非平稳信号)与特性不随时间变化的信号(即平稳信号)区分开来。虽然采用较短的窗可以改进DFT对非平稳信号的分析能力,但牵连到分辨率的问题。如果采样频率保持不变,窗越短采样点就越少,这意味着DFT不能够提供更多关于信号真实频率的细节,较短的窗意味着好的时间分辨率,因为它提供非常局部的细节,但是频率分辨率很差,这是因为观测信号特性的时间太短。提高频率分辨率唯一的方法就是将窗加长,但这样一来又降低了时间分辨率,因为DFT不能精确地描述窗内的信号特性。因此,好的时间分辨率和好的频率分辨率不可能同时达到。除了选择合适的窗长度这个问题之外,若没有大量关于信号的信息,选取合适的窗边界位置也是很困难的。所以试图用多个窗来处理非平稳信号是困难和不切实际的。

小波分析方法是一种窗口大小(即窗口面积)固定但形状可改变,时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息,但时间方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同,小波变换通过平移母小波(Mother Wavelet)可获得信号的时间信息,而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数,这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。

小波变换可以用来取代短时DFT,已经成为数字信号处理(DSP)的主流部分。小波变换的最主要的特点是,它用不同的分辨率分析信号中不同的频率分量。对于高频分量采用好的时间分辨率,因为信号变化非常快,重要的是要了解信号的高频分量何时出现何时消失。这相当于采用一个窄的窗,意味着频率分辨率将相对较差。对于低频信号分量,由于信号变化慢,较低的时间分辨率是可以接受的。这相当于采用一个宽的窗,意味着较长的信号采样时间和较好的频率分辨率,而这是有好处的,因为如此大量的信息使得以较低频率出现的声音能够识别。

为了实现在不同频率上的不同分辨率,需要不同尺度的函数概念。就像地图上的比例尺一样,小的尺度显示细节,而大的尺度只显示总的特征。函数的尺度变换形式是函数,对于任何尺度s。当时,得到一个较低频率的函数:它表示基尺度的扩大,能够描述信号缓慢变化的趋势。当 时,得到一个较高频率的函数,基尺度的缩小能够描述快速变化信号的细节。尺度是与频率成反比的。也就是说对某一个常数,尺度=/频率。

下面举例说明用小波变换分析信号时频分布问题的优点。假设一个线性调频信号,它是信号处理中广泛应用的信号形式,我们可以用小波变换提取它的频率参数。信号的频率在时间间隔64s内从0.1变化到0.5,信号采样数目N=500。定义伪频率(pseudo-frequencies)为根据小波尺度A,小波函数name和采样间隔计算出的频率。下面是从理论上得出的小波变换提取的伪频率与信号实际频率的关系。

对一个线性调频信号,频率平滑地从0.1变化到0.5。连续小波变换是信号时-频分析的另一种重要工具。它的时频窗在低频时自动变宽,而在高频时自动变窄,具有自动变焦作用。结果,在很短暂的高频现象上,小波变换能比窗口Fourier变换更好地“移近”观察。

利用小波处理工具箱scal2frq、cwt、centfrq等函数对上述过程进行仿真,分别画出时间-尺度图,和时间-频率图,如图1所示,这里只画出了它的2维等高线图(Contour)。由图可以看出线性调频信号的频率变化为0.1～0.5Hz,与实际信号一致,利用小波得出了信号的参数。可是分辨率还不令人满意,利用多层分解也许会解决这个问题。

图1(a) LFM信号时间-尺度图图1(b) LFM信号时间-频率图

短时Fourier变换、小波变换和Gabor变换是三种线性的时频表示,他们使用时间和频率的联合函数(取线性变换形式)描述信号的频谱随时间的变化情况。时频分布是非平稳的一种非线性变换,使用时间和频率的联合函数来描述信号的能量密度随时间变化的情况。非平稳信号的这种“能量化”表示简称为信号的时频分布。

利用Wigner-Ville时频分布(WVD)、连续小波变换(CWT)估计出的两个LFM信号的时频等高线图,分别如图2(a)、图2(b)所示。

图2(a) WVD得出的两个LFM信号时频图

图2(b) CWT得出的两个LFM信号时频图

从上面的图形可以看出,在数字信号处理中,小波的尺度和频率有密切的关系,且由于小波是一种线性的时频表示,当分析多个信号时不存在交差项的干扰,能够克服时频分布固有的缺点。当分析相位编码信号和多相信号等由于交叉项影响很难提取信号参数的问题时,好处显而易见。