谈球面介质对光线的折射规律

王金聚

1 原竞赛题及其解答

2008年9月举行的第25届全国中学生物理竞赛预赛卷的第19题是：

例1 如图1所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面(垂直于轴线)，另一个端面是球面，球心位于轴线上。现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线入射。当光从平端面射入棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a；当光线从球形端面射入棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b，试近似地求出玻璃的折射率n。

原解答如下：

入射光的两条光线如图2所示。

α1、β1是从平面端入射的光线通过球形端面时的入射角和折射角；α2、β2是从球形端面入射的光线通过时的入射角和折射角。

根据折射定律有nsinα1=sinβ1(1)

sinα2=nsinβ2(2)

由几何关系有β1=α1+δ1(3)

α2=β2+δ2(4)

设球面的半径为R，注意到α1、α2、β1、β2都是小角度，故有

Rα1=aδ1(5)

Rα2=bδ2(6)

根据题目条件，(1)、(2)式可以近似表示成nα1=β1(7)

α2=nβ2(8)

由(3)～(8)式得

n=b／a

感想 此种解法用到的式子较多，且进行了较多的近似处理，学生不容易想到。另外，该解法中没有体现出球面介质对光线折射的普遍规律，让人觉得“意犹未尽”、没能实现“从特殊到一般”的思维飞跃。

2 球面介质折射的普遍规律

如图3所示，左、右两种介质的分界面是半径为R的球面，球心在O点。

设位于主光轴上有一点光源S，它射出一束近轴光线SP，如图中所示，经球面折射后交于主轴上的S′点，S′即为点光源S的像，SC为物距u，S′C为象距v。设光源一侧介质的折射率为n1，像S′一侧介质的折射率为n2，入射光线SP的入射角为i，折射角为r，OC为球面半径R，

∠PSO=α，∠PS′O=β，

由折射定律可知

sinisinr=n2n1(9)

在ΔPSO中，由正弦定理得

Rsinα=u+Rsin(π-i)=u+Rsini(10)

在ΔPS′O中，由正弦定理得

Rsinβ=v-Rsinr(11)

由（10）÷（11）得

sinβsinα=u+Rv-R•sinrsini(12)

在ΔPSS′中，由正弦定理得

PSsinβ=PS′sinα

因为SP、PS′是近轴光线，故α、β很小，所以有PS≈u，PS′≈v，所以

usinβ=vsinα，即

sinβsinα=uv(13)

将（9）、（13）式代入（12）得

uv=u+Rv-R•n1n2

整理可得

n1u+n2v=n2-n1R

这就是球面折射的成像公式。

我们还可以用同样的方法推导出如图4所示的情况，即球心在光源一侧的情况下，球面的成像公式为

n1u+n2v=n2-n1R

需要说明的是，这时(球心在光源一侧时)的球面半径R应取负值代入计算。

根据这一公式，原竞赛题的简捷解法如下：

解：由球面折射的成像公式

n1u+n2v=n2-n1R

根据题意，当光从平端面射入棒内时，有

n∞+1a=1-n-R(14)

光线从球形端面射入棒内时，有

1∞+nb=n-1R(15)

由以上(14)、(15)两式可得

n=ba

例2 如图5所示，一凸薄透镜的表面是两个完全相同的球面，球面的曲率半径均为r，透镜材料的折射率为n，当物体放在透镜的左侧时，研究由透镜右表面反射所形成的实像。不考虑多次反射，试问当物体放在何处时，可使反射像与物位于同一竖直平面内。

解析 根据题意，由物点发出的光线经透镜左表面折射后，再经透镜右表面反射折回，又经左表面折射而出，最后形成实像。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，结合物与像共面的要求，就可求解。

如图6所示，物点S发出的光经透镜左表面折射后成像于S′：

设物距为u，象距为v，根据球面折射成像公式：

n1u+n2v=n2-n1R

这里空气的折射率为n1=1，透镜材料的折射率n2=n，因入射光由顶点射向球心方向，所以R取正值，代入公式有

1u+nv=n-1r(16)

这是第一次成像。

对凸透镜的右表面来说，前次像点S′是它的物点，由于是虚物，所以其物距u1=-v，经透镜右表面反射后成像于S′1，设像距为v1，如图7所示：由球面反射成像公式

1u1+1v1=1f=2r

将前面的数据代入得

1-v+1v1=2r(17)

这是第二次成像。

由透镜右表面反射所成的像点S′1又作为透镜左表面折射成像的物点S2，因为是虚物，所以其物距u2=-v1，如图8所示：

由球面折射成像的公式

n1u+n2v=n2-n1R

这时入射光一侧折射率n1=n，折射光一侧折射率n2=1，入射光由球心射向顶点，故R取负值，所以有

n-v1+1v2=1-n-r(18)

这是第三次成像，由（16）、（17）可解得

1u+nv1=3n-1r(19)

把（18）（19）式相加可得

1u+1v2=4n-2r(20)

为使物点S和像点S′2在同一竖直面内，这就要求将该关系代入（20）式可解得物距为

u=r2n-1

(栏目编辑陈 洁)