几则“碰撞问题”的推证

于正荣

碰撞问题是高中物理的重点和难点，下面讨论、澄清几个与碰撞有关的问题。

问题1 质量为m1的入射小球与静止的、质量为m2的被碰小球发生正碰，m1＞m2 是碰后入射小球不被反弹的必要条件吗？

在高中物理学生分组实验《验证碰撞中的动量守恒》中，教材强调入射小球m1的质量必须大于被碰小球m2的质量，以至于有人认为这就是入射小球不被反弹的必要条件。对此有必要作深入的分析。

设碰前入射小球m1的速度为v1，m2静止，碰后入射小球和被碰小球的速度分别为v′1、v′2，由于碰撞过程动量守恒，所以有：

m1v1=m1v′1+m2v′2（1）

由于两小球的碰撞不一定是弹性碰撞，碰撞过程可能有动能损失，只能认为碰后系统的动能不大于碰前的动能，因此有：

12m1v21≥12m1v′12+12m2v′22（2）

由（1）、（2）两式可解得：

v′1≥m1-m2m1+m2v1（3）

v′2≤2m1m1+m2v1

要使入射小球碰后不被反弹，应满足v′1＞0。由（3）式不难看出，如果m1＞m2，则必有v′1＞0。但值得注意的是，如果m1＜m2，虽然m1-m2m1+m2v1＜0，但由于v′1≥m1-m2m1+m2v1，v′1也有可能大于零。因此m1＞m2只是保证入射小球不被反弹的充分条件，而不是必要条件。

问题2 如图1所示，在光滑绝缘水平的直轨道上有A、B两个小球，它们相隔一定距离开始相向运动，A球的速度为2v，B球的速度为v。已知A球的质量是B球质量的3倍，两球都带正电，B球所带电量是A球所带电量的2倍。由于库仑斥力的作用两球不会直接接触。下列说法正确的是（ ）

A．A球可能一直沿原来的方向运动，B球一定会反向运动；

B．A、B两球都将反向运动，但B球先反向运动；

C．两球距离最近时，速度大小相等、方向相同；

D．A球和B球所受的库仑斥力始终做负功。

C选项容易判断。由于系统总动量方向向右，所以它们距离最近时，速度大小相等，方向向右，即B球先反向运动。A球会不会反向运动？A球在运动过程中会一直受到向左的库仑斥力作用，因此只要时间足够长，速度总会反向。事实果真如此吗？下面通过计算说明。

设经过足够长的时间，A、B两球速度分别变为v′1、v′2。由于系统动量守恒，所以有：

3m•2v-mv=3mv′1+mv′2（4）

两球从开始到距离最近时，B球已反向运动，以后两球距离将越来越大，因此对整个过程而言，系统电势能将转化为动能。设电势能减少量为ΔE璸，因此有：12•3m(2v)2+12mv2+ΔE璸=12•3mv′21+12mv′22（5）

由（4）、（5）两式可解得：

v′1=54v±(34v)2+ΔE璸6m（6）

由于斥力的存在，v′1不可能大于2v，所以（6）式只能取v′1=54v-(34v)2+ΔE璸6m。要使A球一直沿原来的方向运动，则应满足：

v′1＞0（7）

由（6）、（7）两式可解得这种情况下电势能的减小量必须满足：ΔE璸≤6mv2（8）

设两球最初距离为r，则系统最初的电势能为E璸=kq1q2r。因两球无穷远时电势能为零，所以电势能的减小量ΔE璸≤kq1q2r。由于两球电量、起始距离的具体数值未知，所以ΔE璸可能大于6mv2也可能小于6mv2，（8）式有可能满足，即A球可能一直向右运动。答案AC正确。

从运动的角度看，尽管A球一直受到向左的斥力（阻力）作用，但由于两球距离越来越大，斥力越来越小，当距离足够大时，斥力几乎为零，A球速度几乎不再减小了。其运动的速度图像如图2所示。

问题3 静止的氢原子处于第一激发态（n=2），现在用具有一定动能的实物粒子轰击该氢原子，使该氢原子从第一激发态跃迁到第二激发态（n=3）。已知第一激发态的能级E2=-3.4eV，第二激发态的能级E3=-1.51eV。则下列可能实现的是（ ）

A．采用电子轰击氢原子，电子的动能等于1.89eV；

B．采用电子轰击氢原子，电子的动能等于3.80eV；

C．采用质子轰击氢原子，质子的动能等于1.89eV；

D．采用质子轰击氢原子，质子的动能等于3.80eV。

第一、二激发态的能级差为1.89eV，通常认为只要实物粒子的能量大于等于1.89eV即可使氢原子发生跃迁，选项中的A、B、C、D似乎都正确。其实问题并不这么简单，原因是实物粒子使氢原子跃迁与光子使氢原子跃迁的情形并不完全相同。光子与氢原子作用时，可将自身全部能量给氢原子；实物粒子与氢原子发生作用（碰撞）时，只会将其自身动能的一部分给氢原子。下面讨论要使氢原子发生跃迁，实物粒子的初动能应具备什么条件。

设实物粒子和氢原子的质量分别为m1、m2，氢原子起初静止，实物粒子以速度v1与氢原子发生正碰，碰后速度分别变为v′1、v′2。由于动量守恒，所以有：m1v1=m1v′1+m2v′2（9）

碰撞前后系统损失的动能被氢原子获得，使其发生跃迁，设这部分能量为ΔE，所以有：

12m1v21=12m1v′21+12m2v′22+ΔE（10）

由（9）式变形得到v′2=m1(v1-v′1)m2，将其代入（10）式，化简并整理可得到关于v′1的一元二次方程为：m1(m1+m2)v′21-2m21v1v′1+2m2ΔE-m1(m2-m1)v21=0（11）

为使（11）式有实数解，方程根的判别式必须满足Δ≥0，即：4m41v21-4m1(m1+m2)［2m2ΔE-m1(m2-m1)v21］≥0，化简可得实物粒子的初动能应满足：

12m1v21≥(1+m1m2)ΔE（12）

如果是电子与氢原子碰撞，由于电子质量m1頼2，根据（12）式可得12m1v21≥ΔE，即电子的动能只要大于等于氢原子的能级差，就可以使氢原子发生跃迁，所以选项A、B正确。

如果是质子与氢原子碰撞，此时质子质量m1≈m2，根据（12）式可得12m1v21≥2ΔE，即质子的动能必须要大于等于氢原子的能级差的2倍，才能使氢原子发生跃迁，所以选项C错误，正确答案为A、B、D。

问题4 为什么完全非弹性碰撞系统动能的损失最大？

先对碰撞过程作定性分析。设A、B两球在光滑的水平面上分别以速度v1、v2同向运动，由于v1＞v2，将发生追碰（正碰）。从接触开始，两球由于相互挤压而发生形变，它们之间因此产生相互排斥的弹力，所以A球减速运动，B球加速运动。容易推断，当两球速度相等时距离最近，两球挤压形变的程度也最严重，由于形变而储存的弹性势能也最大。如果这个形变完全不能恢复，即发生了完全非弹性碰撞，显然这时系统动能的损失最大。另外，如果两物体发生的是迎面碰撞，碰撞的细节过程与前述类似，结论一致。

再对碰撞过程作定量分析。设两物体的质量分别为m1、m2，碰撞前、后的速度分别为v1、v′1 ，v2、v′2 。由于碰撞过程系统动量守恒，有：

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2（13）

另外，由于碰撞的恢复系数

e=v′2-v′1v1-v2（14）

由（13）、（14）两式可解得：

v′1=m1-em2m1+m2v1+(1+e)m2m1+m2v2（15）

v′2=(1+e)m1m1+m2v1+m2-em1m1+m2v2（16）

所以系统动能的损失为：

ΔE璳=(12m1v21+12m2v22)-(12m1v′21+12m2v′22)

=(1-e2)m1m2(v1-v2)22(m1+m2)（17）

由（17）式可以看出：当e=0时系统动能损失最大。而恢复系数e=0时，由（14）式可得到v′1=v′2，这正是完全非弹性碰撞。

另外，从（17）式还可以发现：当e=1时，ΔE璳=0，此碰撞为弹性碰撞。另外，由（14）式可得到v′2-v′1=v1-v2 ，这正是我们熟悉的另一个结论：弹性碰撞，分离速度差等于接近速度差。

(栏目编辑罗琬华)