创设认知冲突破解体验缺失难题

2009-05-27 06:16黄世忠
广西教育·A版 2009年4期
关键词:小芳平均数中位数

黄世忠

“中位数”是人教版小学五年级数学教科书P105新增的一个教学内容。其教学背景是以三年级所学平均数的意义、作用及特点为基础,通过平均数不能很好反映数据偏差较大的情况,引出并学习中位数的意义、作用、特点及计算方法。本课的教学目标定位是通过这一内容的教学,使学生理解中位数在统计学中的意义,会求中位数;了解中位数与平均数的异同,学会根据数据的具体情况合理选择统计方法,体会各自的特点和作用。教学重点定位在中位数意义的理解及求法,教学难点是针对一组数据的具体情况及所要分析的问题,作出对统计方法的合理选择。

这是新增的知识点,没有可借鉴的教学经验,加上自身本体性知识的欠缺,我就只好“摸着石头过河”实施第一次教学。教学的基本程序是:复习平均数的求法一自学课本——提出问题——互动交流——学习新概念——平均数与中位数的比较——知识应用——解决问题。教学过程还算流畅。可学生脸上的表情以及自己的直觉告诉我,本课教学远没有达到“三维目标”的要求,而问题出在哪呢?

于是。我询问学生。果然不出所料,学生心存较多的疑惑(高年级学生对所学知识或老师讲解存在疑惑往往隐藏在心底里,不大愿意当众讲出来),现整理如下:

疑惑一:平均数为什么“失灵”了?甚至怀疑过去学习“平均数”上当受骗了。)

疑惑二:中位数是干什么的?(有“平均数”,为什么还要引进“中位数”?)

疑惑三:到底什么时候使用“平均数”?什么时候该用“中位数”?

面对学生的疑惑,我陷入了痛苦的反思,开始自我诊治:难道文本(附后)设计出了问题,无法帮助学生形成新的建陶?还是学生的理解产生了偏差,导致认知障碍?或者是学生的惯性定势在作怪,阻碍了学生思维迁移?经反复琢磨,我悟出了一点道理:学生之所以认为平均数“失灵”了,可能是因为学生对“平均数”本身意义的理解就存在缺陷,也就是他们对怎样求平均数是“相当熟练的”,但对平均数到底是“干什么的”并不明白,或所习得的“平均数”被异化成“平均数的求法”。学生不接纳中位数是为什么呢?可能是因为平时生活中用得最广泛的是平均数,对平均数的感觉是一种耳熟能详的直觉,让学生舍弃平均数而选用中位数,在情感上需要一个过程。因此,学生对何时使用平均数何时使用中位数就摸不着门路。基于上述的分析。我拟采用创设认知冲突的策略,强化体验的方法,破解学生的三大疑惑,实现三位一体的教学目标:对平均数意义的重构、认识中位数的必要以及合理选择平均数与中位数做了新的尝试。

教学片段一:营造冲突,感知必要,破解“平均数失灵”

屏幕演示

某次数学考试,小芳得到78分。

全班的平均分为77分。

小芳告诉妈妈说,自己这次成绩

在班上处于“中上水平”。

师:阅读了以上信息。你认为小芳所言她的成绩处于班级的“中上水平”一定属实吗?

师:可以把你的想法与同伴交流,也可以对你的想法自行验证。

(学生活动,争论激烈。观点碰撞频发。)

生1:我认为,既然小芳的成绩78分比全班的平均分77分还多出1分,就说明她的成绩确实是班里的“中上水平”。

师:你们同意这位同学的意见吗?

(小部分学生表示同意,一部分学生表示不赞同,多数学生尚未思考清楚没有表态。)

师:看来大家意见不太一致。(在老师的预设之中)

生(齐):是的。

师:我们就先来说说你们所理解的平均分(77分)在班里相当于什么水平。

生(众):中等水平。

师:按你们的理解,高于平均分就应属于中上水平,低于平均分就应属于中下水平。

生:应该是这样。(学生认为“平均分”与“中等水平”是等值的,连持反对意见或保持沉默的学生也转变了态度。)

师:果真是这样吗?想不想知道小芳班里考试成绩的真实情况?

生:当然想!(急于验证自己的猜想是否正确)

师:那么,就请看吧!(屏幕演示)全班共30人,其他同学的成绩为:

1个100分,

4个90分,

22个80分。

1个lO分

1个2分。

师:有什么想法?小芳的成绩在班上实际排列第几?(营造的情景带给学生巨大的认知冲突。)

生:倒数第四。

师:以你们刚才的观点,就等于你们认可了一个倒数第四位的成绩处于班上的“中上水平”?

生:决不同意。

师:高于平均分却不算中上水平,这不矛盾吗?

生:是这样的,一般情况下,高于平均分就应属于中上水平,可是没想到这里出现了两个低到极端的分数,把班里的平均分一下子就拉下来了。(学生加重了带着重号词语的读音)

师:你所说的“一般情况”是指什么?

生:我帮他解释,“一般情况”就是指一组数据中不能出现特别大或特别小的数据,数与数之间差距不能太大。

生:小芳班有一个人只得2分,暂且不说他与最高分100分相差太大,就是与大多数人的80分也有不小的距离。这个2分,对全班的平均分影响太大了。

师:怎样影响?

生:把平均分拉低了很多很多。所以让小芳成绩高于平均分。这个平均分低于班上大多数同学的成绩,不能代表班上成绩的中等水平。

(同学们纷纷点头表示赞同。)

师:确实像你们分析的这样,平均数也有“失灵”的时候。当一组数据中的数值比较集中,差异不大时,平均数能较好地反映该组数据情况的中等水平。当一组数据中出现极端数据时,平均数往往就不能代表一组数据的“中等水平”(统计学称之为“一般水平”)。平均数“失灵”,我们用什么样的“数”衡量小芳的成绩在班上处于怎样的水平呢?

师:数学是一门工具学科。今天,我们就来学习一个新的数学概念“中位数”,以帮助我们解决这个问题。

(点评:中位数是表示数据组一般水平的数据。为了让学生在认识平均数的基础上进而认识中位数的内涵,教师没有直接呈现中位数概念,而是创设情境,让学生产生认知“冲突”,以“平均数”为参照物,引出“中位数”的概念,体会“中位数”的意义。体会到学习中位数的必要性。)

教学片段二:情景体验。动态生成。破解“何为中位数?”

师:从字面意义来理解,你认为“中位数”是怎样的数?

生:处在中间位置的数,叫做“中位数”。

师:从定义的角度来理解,你的说法是正确的;从统计学的角度来理解,你的说法还需要补充条件。

(屏幕演示:把一组数据按顺序排列后。处在最中间位置的数叫做中位数。)

师:为什么要添加“把数据按顺序排列”这个前提条件呢?

(没有学生回答)

师:这样吧,我们现场做一个演示,请五位同学协助完成。(教师选择5位同学到台前站成一排,用A4纸标明各自的

身高。)

师:请认为自己身高数是中位数的同学往前移一步。

(B和C都前移了一步)

师:C,你出来的理由是……?

C:因为我站在这五个人的最中间。所以我是“中位数”。

(教师没有表态,把C和D调换了一个位置,并让D向前移了一步,大声宣布D是中位数。)

师:看出问题了吗?

(学生没有表态,若有所思。教师又把A和c调换了一个位置,并让A前移了一步,大声宣布A是中位数。)

生:不对。这么说,谁(的身高数)都可以是中位数。

生:我明白了,把他们的身高按从高到低或者从低到高的顺序排列起来,最中间的数才是中位数。

师:你们真聪明!中位数是一组数据中间确定的、唯一的数。

(说着,老师站到五人队伍的一端。)

师:这时的中位数是谁?(学生谁也没有往前移动一步,面面相觑。)

生(自言自语):6个人不好找中间数。

师:对照中位数的定义,谁最不可能是中位数?请退后一步。

(师、C、E和A在众学生的指挥下相继退后,剩下D和B。)

师:D和B你们为什么不退后呢?

生(抢着说):他们两个是最靠近中间的数。谁退去都不能。

师:可是中位数只有一个。

生:那么就只好取他们两个的身高平均数了。

小结:当一组数据个数是单数时,正中间的数是中位数,当数据个数是双数时,正中间的两个数的平均数是中位数。

(点评:从字面上理解中位数的意义及求法并不困难,难的是如何帮助学生从本质上认识、理解中位数的产生、形成与发展变化。教师提供适度的活动时间和空间。让学生在具体的操作活动中体会中位数。)

教学片段三:整合挖掘,促进内化,破解“究竟该选谁?”

(教师请刚才的五位同学按顺序排好。)

师:这五位同学身高的中位数,我们刚才已经知道它是138厘米,能快速计算出他们身高的平均数吗?

生:平均身高是138.4厘米。

师:比较这组数据的平均数和中位数,你发现了什么?

生:它们非常接近,不分上下。

师:为什么两者能这么接近?你认为其中的原因是什么?

生:可能是因为这组数据中没有出现特别偏大或偏小的数据。

师:你们的猜想完全正确。在这种情况下,用平均数或者用中位数都能很好地反映一组数据的一般水平。

师:大家认识身高226厘米的篮球明星姚明吗?今天他来了。(把C的身高数换成226厘米,对C说:“你现在就是姚明了。”学生被逗乐了。)与刚才相比,这五个人身高的平均数变化了吗?变大了还是变小了?中位数呢?(如此演示两至三次)

小结:平均数与每个数据大小变化有关。与排列位置无关;中位数与数据的排列位置有关,与每个数据大小变化不一定有关。

(点评:学生的“痛苦”往往来源于比较,尤其是对相近概念的比较,如在具体情境下,到底应该选择平均数还是选择中位数来表示一组数据的一般水平,是让学生感到十分棘手的问题。为此。必须统整这两个概念,让学生在问题情境中,在现实素材中,在自主探究中,在讨论交流中,感悟中位数的统计意义,建构知识,主动发展。)

回顾中位数“三疑”、“三破”的教学历程,我颇有感触。之所以前后施教会产生这么大的反差,我认为主要在以下几个方面存在区别:

直面问题且及时跟踪诊治,用行为改进的方式去解决问题,是我们提高课堂教学效能的努力方向。中位数教学的“三疑”与“三破”给了我如下启示:

一、准确定位新知识教学的支点。中位数的教学必须以“平均数”为参照物,让学生在没有排斥、否定平均数的统计意义的认知冲突中。站在另一个层次分析数据,寻找到这个“合适”的数一中位数,从而体会中位数的合理性。

二、体验缺失影响学生自主建构。要提供适度的活动时间和空间,引领学生体验,让学生经历知识的形成过程。课堂上通过“意义数据”的演示和变换,让学生直观有关实例,在现实素材中自主探究。讨论交流,自己尝试找中位数,体验中位数的意义和求法,并在比较中感知平均数与中位数的联系和区别,让学生在问题情境中建构知识,主动发展。

三、夯实本体性知识防止误教。由于数学素养的缺乏,不能准确理解教材,对课堂上出现的“偏离预设”、学生的奇思妙想难以恰当把握,对学生自然生成的教学资源不能有效利用,就不能为学生创设更多的数学交流以及进行猜想、解释、推理和证明自己数学想法的机会。就本课教学而言,既要加强统计知识的学习,也要弥补逻辑知识的缺漏。

四、切实尊重学生的课堂权益。学生有自己的看法和意见,教师不要一味地否定学生,而要把关注的重心放在学生质疑、思考问题的过程,千万不要代替学生观察、思考和表达,更不可强加给学生固定的思维模式。

(点评者:王敏享受国务院特殊津贴专家,荣获“全国人民教师奖章”,广西优秀专家、特级教师。)

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