浅谈学生数学直觉思维能力的培养

袁庆国

摘要：直觉思维是发明、创造的重要源泉。数学直觉思维能力的提高有利于学生增强学好数学的自信心。因此，在数学教学中要注意培养学生的直觉思维能力。

关键词：直觉思维；逻辑思维；创新；想象力

中图分类号：G633 6文献标识码：A文章编号：1009-01 0X(2009)04-0049-02

严密性是数学的主要特点，严谨是数学家的重要品质。中学数学教学中形式严谨的逻辑演绎是必不可少的教学和学习过程。但我们在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养。特别是直觉思维能力的培养，由于长期得不到重视，致使学生认为，数学就是逻辑演绎，削弱了学生的想象力和创新意识，不利于思维能力的整体发展。

一、对数学直觉思维的认识

1，直觉是发明的源泉。

“逻辑用于证明，直觉用于发明。”直觉是一种心智活动，是以已有的知识和积累的经验为基础，不需逻辑推理而对事物本质的直接洞察、迅速判断或整体把握。数学直觉就是对数学对象及其某种关系的迅速识别、直接理解和综合判断。从创造过程来看，数学的许多重要成果最早不是以严格逻辑推理得到的，而是由推测、猜想、直觉而发现，然后再被严格证明的。Hamilton为研究用复数表示三维向量，用了三十年的时间没有结果。一天晚饭后，他和夫人在河边散步，突然一种想法涌上心头，即三维向量的复数表示法——发现了“四元数”。由此可知，数学直觉在数学创造、发明中起着至关重要的作用。

2，数学直觉思维的表现形式。

直觉思维是以人们已有的知识、经验和技能为基础，通过观察、联想、类比、归纳、猜测之后对所研究的事物作出一种比较迅速的直接的综合判断，它不受固定的逻辑约束，以潜逻辑的形式进行。例如等腰三角形的两个底角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知。而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。庞加莱说：“直觉不必建立在感觉明白之上。感觉不久便会变得无能为力。例如，我们仍无法想象千角形，但我们能够通过直觉一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。”由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。

3，数学直觉思维的特点。

数学直觉思维具有个体经验性、突发性、偶然性、果断性、创造性、迅速性、自由性、直观性、自发性、不可靠性等特点。迪瓦多内说：“任何水平的数学教学的最终目的，无疑是使学生对他要处理的数学对象有一个可靠‘直觉。”在教育过程中，教师如果把证明过程过分的严格化、程序化，用僵硬的逻辑外壳掩盖住直觉的光环，学生们只能把成功归功于逻辑的功劳，而丧失了“可靠的直觉”，那将是我们教育的失败。《中国青年报》曾报道，“约30％的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”，这种现象应该引起数学教育者的重视与反思。

4，数学直觉思维能力的提高有利于增强学生的自信力。

成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的“自信心”。从马斯洛的需要层次来看，它使学生的自我价值得以充分实现，也就是最高层次的需要得以实现，比起其它的物质奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久。当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻研动力。高斯在小学时就能解决问题“1+2+……+99+100=?”，这是基于他对数的敏感性的超常把握，这对他一生的成功产生了不可磨灭的影响。数学直觉思维还有利于提高学生的思维品质。直觉思维具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或结论，给人以“发散”、“放射”的感觉，一计不成又生一计。因此，加强直觉思维能力的训练，对克服思维的单向性，提高思维品质是有利的。

二、数学直觉思维的培养

徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”在课堂教学中，数学直觉思维的培养和发展是情感教育下的产物之一，把知情融为一体，使认知和情感彼此促进，和谐发展，互相促进。数学教师要树立数学素质教育观念。改变“注入式”教学方法，培养学生自主学习能力。

I，创设教学问题情景，以学生为“主”，使学生成为信息加工的主体和知识意义的主动建构者，教师则是教学活动的指导者。

比如，“探究式教学法”、“发现式教学法”、“问题研究”就是教师根据讲授内容，设计问题情景，展示知识发生过程，让学生进行分析、概括，得出直观、本质的东西——定理或公式。虽然不是数学原理发现的原始演化过程，但是，通过“再发现”学习，一方面，从对事物的认识规律来讲，它符合从特殊到一般、从具体到抽象的认识规律；另一方面，学习过程必然有直觉、联想、猜测、归纳等非逻辑思维的积极参与，激励创造性的发挥。

2，帮助学生建构智力图像，提高整体思维能力。

智力图像就是一种意象，或者说是一种模糊的思维形象，是对事物某些特征的整体把握。比如我们在描述某一代数问题时，头脑中可能会同时闪现出它的不很清晰的几何形象。“它为你指出整个或部分途径，它或多或少清晰地建议你该如何继续”，这种智力图像能够传达更多的信息和概念，而且更多的是直觉、形象、审美等悟出的带有实质性的整体判断，是直觉式的。整体思维也是发现真理的方法之一。中国传统思维方式之一就是整体性思维，如中国传统几何证明方法“出入相补”原理是整体思维在数学中的典型应用，“出入相补”是借助辅助形体构造完整的直观的几何图形，并揭示构成整体的各局部图形之间的某些逻辑关系的方法。它不去分析点与线、线与线之间最基本的关系，而是从整体上直观地把握或领会某些原理。整体思维中包含了经验性的直觉思维方式，中国古代数学中的几何命题的证明、极限思想以及正负数等重要发现，无不表现出了卓越的直觉思维能力。因此，教学中教师要引导、鼓励学生抓住那些看似不严格但带有实质性的“念头”或者“火花”，它可能正是解决问题的关键。

3，培养归纳、类比、猜想等非逻辑思维，发展发散思维，提高直觉思维能力。

归纳和类比是数学活动最常用、最重要的方法。从特殊的个别事物中发现共性，或者从两种事物的某些相似性得出相似的结论，常常要借助于联想、启发、发散、迁移等直觉的悟性而产生猜想。教学中，教师要作为学习的指导者，引导学生由特例去归纳总结，得出一般性的结论，或者让学生经过认真观察思考，通过类比提出猜想，或者引导学生进行一题多解、一法多用、一题多变等形式的多向思维，使学生不拘泥于既定的思维方式、方法、规则或范围，往往可能出现一些奇思妙想，引出有创造性的观点。

4，重视数学试验和数学建模，对培养学生的直觉思维、创造思维具有特殊的作用。

数学建模是联接数学与实际问题的桥梁，其实践性和应用性很强。其中的关键是构造出相应的数学模型。数学建模所涉及的实际问题一般没有现成答案，没有固定的求解方法，也没有规定的数学工具与手段，主要靠学生独立思考、反复钻研并相互切磋。学生在对实际问题的分析、化解过程中。常常要凭借归纳、类比、猜测等思维方式及带启发性的直觉去“战略性”地认识对象，建立数学模型。这有利于充分发挥学生的潜力，从“做”中学，为培养学生的创新能力提供了广阔的空间。数学实验是一种新的数学教学方式，是让学生借助于数学软件自己动手实验，发现在问题中可能存在的规律，并用计算机进行证明。这种全新的数学学习体验，一是可以激发学生学数学、用数学的兴趣，二是有利于培养学生的创造意识。

数学是一门滴水不漏的学科，许多直觉洞察的空隙必须要用逻辑推理来填补。对于直觉与非形式的强调是无可非议的，但是我们并不能以此去取代数学证明，而只能作为后者的必要补充；而“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测，他们很快就会忘记在猜测与证明之间的区分”，而后者甚至可以说比根本不知道如何去解决问题更糟。直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，斯图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有美感的逻辑，”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。