教不越位 学要到位

邱贻根

《数学课程标准》指出，学生是数学学习的主人，教师是学生数学学习的组织者、引导者与合作者。然而有效的讲授是任何课堂教学必不可少的，即使是在以学生自主学习为主的课堂活动中，教师的讲授也是必需的。但这种讲授应是不越位的师生互动中的点拨、引领、启发、强化，起到画龙点睛的作用。那怎样才能体现教师的“教”既到位、又不越位，学生的“学”要到位、又不放任呢?我认为教师在为学生创设充分的空间，留出足够的余地，使教学保持某种“互动”“对话”的教学活动的同时，还应在引趣、设问、点拨等环节上下工夫，在“精”字上做文章。笔者在平时的听课、调研时也发现了不少“教师的‘教不越位，学生的‘学又落实到位”的精彩课堂，现择举“圆的周长”一例，与同仁一同分享。

一、创设情境，引入新课

师(出示正方形、圆形纸片)：同学们，这两个是什么图形?(正方形和圆)如果把这两个图形重叠起来，你会有什么发现?

生：圆在正方形里面。

师：不错，我们把它叫做内切圆。

生：我发现圆的直径与正方形的边长相等。

师：同学们观察得真仔细。现有甲、乙两只蚂蚁同时以相同的速度，甲蚂蚁沿着正方形路线跑，乙蚂蚁沿着圆形路线跑，同学们猜猜看哪只蚂蚁先跑完一圈?

生：甲蚂蚁先跑完一圈。

生：我认为应该是乙蚂蚁先跑完一圈。

生：我想不好比较，因为不知道正方形、圆形的一圈各有多长。

师：××同学你真肯动脑筋!那甲蚂蚁跑的路程实际是正方形的什么?(生：周长)什么叫做正方形的周长?怎样计算正方形的周长?

生：围成正方形的四条边长的总和叫做正方形的周长。正方形的周长等于边长乘4。

师：说得真好!正方形的周长与它的边长有关，周长是边长的4倍。那乙蚂蚁所跑的路程实际上是求圆的什么?(生：圆的周长)

师一你真聪明，那什么叫圆的周长，又怎样计算圆的周长呢?这节课我们就来研究这个问题。(板书课题：圆的周长)

评析为激发学生积极主动地学习圆的周长，教师注意在必要的复习铺垫的同时，注重情境创设，如把两只蚂蚁进行赛跑比赛的生活问题转化为比较圆的周长和正方形周长的数学问题。并通过引导学生回忆正方形周长和边长的关系，为学习圆的周长计算做了知识和方法上的准备。渗透了要求圆的周长也需要从研究圆周长与直径的关系入手的思想。

二、自主参与，探究新知

1、充分感知，理解意义。

(1)认识周长。

师(出示手中的圆)：我们已经知道乙蚂蚁所跑的路程是圆的周长。那围成圆的这条线是一条什么线々

生：是一条曲线。(师板书：曲线)

师：同学们能否依照正方形周长的定义说说什么是圆的周长?同桌先相互说一说，待会儿选派代表汇报。

师，哪位同学愿意上来说说?

生：围成圆的这条曲线的长叫做圆的周长。(师相机在“曲线”前面补充板书以完善概念)

师：同学们再闭着眼睛想象一下，圆的周长展开后会出现一个什么图形?(教师随着学生的讲述，进行演示，结果是一条线段)

(2)感知周长。

师：请同学们拿出自己带来的实物：1元硬币、茶叶罐、易拉罐等。从这些物体中找出一个圆形来，互相指一指、说一说这些圆的周长。

评析利用正方形周长概念进行迁移，并通过结合实物动手摸一摸、指一指、说一说，使学生较为牢固地掌握了圆周长的概念，为后继学习奠定了基础。

(3)测量周长。

为每个小组提供一把直尺、一条绸带、一个计算器、三个大小不等的纸圆片、一张记录卡。

师：同学们，能否用手中的学具，测量出圆片的周长?(以小组为单位，想一想、试一试，待会儿各组派代表汇报)

师：哪个小组先来汇报?

生：我们小组是把圆放在直尺上滚动一圈，这一圈的长度就是圆的周长。

师：能否上来演示一下?(突出测量的方法：在圆上取一点作个记号，并将此点对准直尺上的零刻度线，然后把圆沿着直尺滚动，直到此点又对准了直尺上的另一刻度线。板书：滚动法)

生：我们小组是用绸带在圆的周围绕一圈，再量出绸带的长度，也就是圆的周长。(板书：缠绕法)

生：老师，我们是把圆片对折再对折(边说边演示)，测量出对折后圆周长的1/4(师补充“弧长”)，再乘4，也能得出这个圆片的周长。(板书：折叠法)

师：同学们真了不起，想出了这么多测量圆周长的办法。下面就用你们发现的方法，测量老师提供的三个大小不等的圆片的周长，并记录在表中。(过程略)

师：同学们，如果要测量校门口圆形花坛的周长，能用滚动的方法吗?

生：不能。但可以用缠绕的方法。

师：同学们请看(用一根绳子，并在一端拴上一个白色小球，在空中旋转使小球滑过的轨迹形成一个圆)，要想求这个圆的周长，还能用缠绕的方法吗?(学生均感疑惑)

师：看来用滚动或缠绕等方法可以测量出一些圆的周长，但实践证明还是有局限性的，那么，我们能否探索出一种求圆周长的普遍规律呢?

评析要求学生借助身边的工具想办法“化曲为直”测量圆的周长，先讨论方案，再汇报小组采用的方案，教师提示要点，最后实际测量，这样既满足了不同层次水平学生的需求，又注重了实验的科学性和实践性。如从滚动测量、缠绕测量，到空中的小球所经的轨迹画出的圆不好测量，既留给学生自主发挥的空间，又不断设疑、激疑产生认识冲突，使学生感到有必要探索一种求圆周长的普遍规律，诱发了学生强烈的求知欲。

2、探索规律，总结公式。

(1)引探发现。

师：请同学们回忆一下正方形的周长和边长有怎样的关系。(生：边长×4)

师：那求圆的周长时能否也找到这样的倍数关系呢?它与谁有这样的关系?

生：我认为与圆的半径有关。因为半径长，画出的圆就大：半径短，画出的圆就小。

生：我想应与圆的直径有关。因为在同一个圆里直径等于半径的2倍。

师：说得真好!那圆的周长与圆的直径(或半径)到底有怎样的关系呢?这个问题要同学们自己去发现。现在请每个小组同学之间相互分工一下，完成以下任务：①测量出三个大小不等的圆片的直径。②计算出这些圆片周长与直径的商，得数保留两位小数。(这三个圆的周长前面已测量得出)③把相关数据记录在下表中。

展示学生的记录表：

师：同学们，请认真观察以上记录表，看看有什么发现?

生：我发现第1个圆的周长是直径的3.15倍。

生：我发现这些圆的周长都是它直径的3倍还要多一些。

师：真是了不起的发现!这个规律是否具有普遍性呢?请同学们拿出老师给你们的一个大圆(直径15厘米)，用自己探索得出的(滚动、缠绕、对折等)方法验证一下。

生：老师，我们通过测量发现这个大圆的周长也是直径的3倍还要多一些。

(2)总结公式。

师：同学们通过验证所发现的规律是正确的，具有普遍性，即无论大圆或小圆，圆的周长是它的直径的3倍多一

些，到底多多少?第一个发现这个规律的人是谁呢?请同学们翻开课本第90页，边读边思考以下几个问题：

(1)任何圆的周长和直径的比值是一个什么数?它叫什么?用什么字母表示?

(2)第一个发现这个规律的人是谁?你有什么感想?

(3)如果知道了圆的直径或半径，你们能求出它的周长吗?会用字母表示吗?

师：谁来汇报第一个问题?

生：任何圆的周长和直径的商(比值)是个固定的数，叫做圆周率，用字母“π”表示。(师相机板书：圆的周长÷直径=圆周率)

师：第一个发现这个规律的人是谁?你有什么感想?

生：这个规律是我国古代著名数学家祖冲之发现的……

师：是啊!最早发现这一规律的是我国著名数学家祖冲之，他精密地计算出圆的周长是它的直径的3.1415926-3.1415927倍之间，比国外至少早了一千多年。因为它是一个无限不循环小数，为计算方便通常取它的近似值，即3.140因时间关系，关于圆周率的发展史，请同学们课后去查阅相关的资料。

师：如果知道了圆的直径或半径，你们能求出它的周长吗?会用字母表示吗?

生：如果知道圆的直径，那么圆的周长=直径×圆周率。用字母表示为c=πd。(板书：c=πd)

生：如果知道圆的半径，那么圆的周长=半径的2倍×圆周率，用字母表示为c=2πr。(板书：c=2πr)

(3)运用公式。

师：同学们，我们通过动手操作、探索验证，推导得出了圆周长的计算公式。能否用公式解决下列问题?①出示例1、例2。先独立思考，再把你的想法与同桌互相说说。(教师巡视，及时纠正学生的书写格式)②再来看看课前我们的猜想，甲蚂蚁、乙蚂蚁到底谁先跑完一圈?(假设正方形的边长为4分米)

评析本环节融猜想、讨论、实验、计算、观察、概括为一体，使学生动脑、动手、动眼、动口多种感官参与学习过程，让学生充分感知，又反复加以验证，自主发现了圆周长与直径的倍数关系，渗透了由特殊到一般的分析方法，突出了教学重点，计算公式的总结自然水到渠成。再利用所学解答课始的问题，前后呼应，使结构更加严谨，学生的创造能力得到淋漓尽致的发挥。在理解圆周率意义的过程中，引导学生读书、谈体会，在深入理解新知的前提下，对学生进行爱国主义教育。

三、巩固运用，形成技能

1、基本练习：

(1)判断正误。

②圆的周长是它的直径的3.14倍。()

②π=3.14。()

③圆的直径越长，圆周率越大。()

④半圆的周长就是圆周长的一半。()

(2)P.91做一做：练习二十三的1、3、4小题。

2、综合练习：练习二十三的第5、6小题。

3、拓展练习：

(1)想一想。用什么方法能很快测量出校门口这棵大树的直径?

(2)甲、乙二人同时同速从A地出发(如下图)，分别沿外边的大半圆和里边的两个小半圆跑到B，谁先跑到终点?

评析练习设计目的明确，层次清晰，由易到难、形式多样，利于学生有效巩固新知，形成技能。尤其是第3题的拓展练习让学生在加深对所学知识理解的同时，灵活地加以应用，有效培养了学生逻辑推理的能力。

四、课内小结，深化认知

这节课你学习了哪些知识?有什么收获?还有什么问题?

总评纵观全课，教师能科学地处理好“教”与“学”的关系。能紧密联系学生的已有认知和经验，准确把握知识间的内在联系，不断创设合理的认知冲突，如“滚动法、缠绕法还是有局限性，能否探索出一种求圆的周长的普遍规律呢”等，较好地体现了教师的“教”能致力于“导”，服务于“学”，有效做到“引领到位、但又不越位”。整个教学流程为学生自主探索、自主发现创设了广阔的探索空间，留出了足够的余地，孩子们在充分的实际感知、迁移类推中建构了清晰的圆周长的概念；在亲历“猜想——验证”“探索——发现”中总结归纳出了圆周长的计算公式。在此不难发现，学生的主体地位得到应有的凸显，孩子们自主探究的“学”得到有效落实，学生真正成为探索知识和驾驭知识的主人。这样的课堂自然是生动的、鲜活的。