数学思维训练的“四步骤”

胡晓红

〔关键词〕 数学教学 ；思维训练；启动；发展；高潮；

强化

〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2009）03（B）—0064—01

实践表明，在数学教学中，学生思维的发展、动机的形成、知识的获得、智能的提高都离不开一定的思维情境。因此，教师在传授数学知识的过程中，要精心创设思维情境，激发学生数学思维的积极性，进而培养学生的思维能力。下面，笔者以人教版高一数学（上册）“等比数列”这节课的教学为例，来说明学生思维训练的过程。

第一步：思维的启动

教师在创设情境时应遵循两个原则：一是选好问题的切入角度，使所设置的问题具有设疑和激趣的作用；二是所提出的问题要切合实际，如果提出的问题不切合学生的实际，学生就会出现“不要听”或“听不懂”的现象。

在教学“等比数列”时，我先给学生讲了一个故事：从前有一个财主，为人刻薄吝啬，常常克扣工人的工钱，因此，附近村民都不愿到他那里打工。有一天，这个财主家来了一位年轻人，要求打工一个月，同时讲了打工的报酬：一天一分钱，两天两分钱，三天四分钱……以后每增加一天工钱数翻一倍，直到三十一天期满。这个财主听了，心想这工钱也真便宜，就马上与这个年轻人签订了合同。可是一个月后，这个财主却破产了，因为他付不了那么多的工钱。然后提出问题：这工钱到底有多少呢？由于问题富有趣味性，学生们顿时活跃起来，纷纷进行猜测。这时，我及时点题：这就是我们今天要研究的课题——等比数列，并且告诉学生，通过计算可得出这个财主应付给打工者的工钱为2³⁰（分），即1073741824分≈1073（万元）。学生听到这个数字后，感到非常地惊讶。这样巧设悬念，使学生一开始就对问题产生了浓厚的兴趣，思维被迅速启动，为发现新问题、解决新问题创造了理想的心理情境。

第二步：思维的发展

数学思维训练一定要发挥学生的主动性。教师对学生提出思维要求时，应留有一定的空间，让学生独立思考，而不应在学生还没有展开观察、分析之前，就急于将结论、定义和定理等强加给学生。这样，学生在自主活动中才能取得令人满意的效果。

在学生对“等比数列”产生了浓厚的兴趣后，我开始讲解“等比数列的通项公式”，并列举了这样一个现实的问题：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r，若此人一年后还款，两年后还款，三年后还款……还款数额依次满足什么规律？然后给出一定时间让学生自主探究。学生经过探究得出：1年后应还款 10000（1+r）元， 2年后应还款10000（1+r）²元，3年后应还款10000（1+r）³元……我又引导学生从中寻找规律，进而得知n年后应还款10000（1+r）ⁿ元。这里，教师应该起“引”和“导”的作用，让学生在充分拥有“自由”的前提下，由浅入深、由表及里地自主探索，自己体会知识的“发生”过程。随着问题一个个地被解决，学生的思维也就会步步深入，得到充分的训练和发展。

第三步：思维的高潮

为了使学生达到思维的高潮，教师可不按常规地对学生进行启发、诱导和提问，在顺利解决学生普遍存在问题的基础上，更大程度地提高学生的发散性思维能力、综合分析能力、逻辑推理能力和归纳整理能力。这样，必然会进一步拓宽学生思维的空间。

在第二步的基础上，我引导学生由定义：a₂=a₁q，a₃=a₂q=a₁q²，a₄=a₃q=a₁q³……出发，归纳得到等比数列的通项公式为：a_n=a₁q^n-1（n∈N*）。这个过程需要各种思维活动，不仅在定向思维上需要严密性、逻辑性、科学性，更需要不按常规的、敢于出奇制胜的创新思维活动。

第四步：思维的强化

为了强化学生思维，可通过典型例题的解题教学和训练，尤其是一题多解、一题多变、一题多用等变式训练，使学生达到巩固与深化所学知识，提高解题技巧及分析和解决问题的能力，增强思维的灵活性、变通性和独创性的目的。

于是，为了区分等差数列的公差和等比数列的公比，我要求学生回答下面的问题：①公比q能为0吗？为什么？等比数列的首项能为0吗？②公比q=1的数列是什么数列？③q＞0时，等比数列是递增的吗？q＜0时，等比数列是递减的吗？学生通过对上述问题的探究会发现，公比q不能取0，但能取1，所以在不为具体数字（即为字母）时须讨论以上两种情况。并且明白了q＞0时等比数列的单调性不定，而q＜0时数列为摆动数列，与等差数列是有区别的。这样给学生创设探索求知的新境界，学生的思维必然能得到有效的强化。