数形结合，促成算理与算法的有效融合

王少平

苏教版国标本数学教材三年级上册“商末尾有零的除法”教学片段：

教师先出示一道上节课学过的“两位数除以一位数”的题：63÷3，学生很快算出结果“21”。

教师紧接着出示“62÷3”，师生共同列竖式，得出“个位上的2除以3不够商1，就商一个比1小的数‘0”，结果是“20……2”。师结语：“个位上不够商1时，就写0占位。”

随后，教师出示例题，明确题意后列出式子：62÷3。

师：“怎样把这62个羽毛球平均分成3份呢？想办法分一分。”

学生们有的看图，有的用小棒操作。之后汇报交流：先把60个羽毛球平均分成3份，每份20个，余下的2个不够分成3份，余数就是2。

教师板书：“62÷3＝20（个）……2（个）”。

反思：在计算教学中，存在着一对基本矛盾——算理直观与算法抽象。案例中，教师避重就轻，把“商末尾有零的除法”的关键部分处理得极为草率，只是借助上节课的“笔算两位数除以一位数”，依葫芦画瓢式的让学生得出“62÷3＝20……2”。对于竖式里的“商的十位上为什么写2？商的个位可不可以不写0？”这样的核心问题，学生还没有完全弄明白，新授部分就结束了。教师在算理和算法之间划清界限、淡化了算理和算法之间的联系，不利于学生理解算理和掌握算法。

其实，在算理与算法之间有着密切的关系：算理是客观存在的规律，为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，它是算法的理论依据；算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度，它是算理的提炼和概括，二者是相辅相成的。要实现二者的有效融合很有必要，它不仅关系着算理能否掌握，还直接关系算法能否落实。怎样将二者融合呢？

教者采用数形结合的方式进行了二次设计，下面呈现的是对三者进行沟通联系时的一个完整板书：

教学中，师生的交流围绕两个中心问题展开：①为什么商中的“2”要写在十位上？②为什么商的个位上要写0？这两个问题正是“商末尾有零的除法”的难点所在。课堂上，师生把情景图、算理、算法三者紧密联系在一起，并以板书的形式呈现出来，学生在理解以上这两个中心问题时就有的放矢了，师生间有如下的一段精彩对话：

师：为什么2要写在商的十位上。

生1：因为它表示20，如果写在个位上就表示2了！

生2：因为是先把60个羽毛球平均分成3份的，每份是20个，所以2要写在十位上，表示20。

师：老师听明白了！谁又能说一说，为什么商的个位上要写0呢？

生1：个位上的两个羽毛球不够平均分成3份，不够商1，就商一个比1小的数‘0，个位上的‘2就余下来了。

生2：“0”是用来占位的，因为商的十位上是2，如果个位上不用0占位，不就变成‘2了吗？

……

学生利用直观的分一分，不仅理解了算理，而且有效地突破了算法上的难点。著名数学特级教师徐斌老师说过：应该给计算教学加点“甜味”，即在算理直观与算法抽象之间架设一座桥梁，铺设一条道路，让学生在充分体验中逐步完成动作思维→形象思维→抽象思维的发展过程。在笔者看来，数形结合就是“甜味”、“桥梁”和“道路”。华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”。他认为仅就数而论，则缺乏直观性；仅就形而论，则缺乏严密性。数形结合可以把抽象的数学语言与直观的图形相结合，把抽象思维与形象思维相结合。只有二者结合时才可以优势互补，收到事半功倍的效果。不少教师认为计算教学简单枯燥，但在徐斌老师的课堂上，这种简单枯燥可以转化为“火热的思考”。下面呈现的是徐斌老师执教“一位数乘两位数的笔算”的一个精彩片段，相信大家会对如何通过数形结合沟通算理与算法之间的联系有更深刻的认识。

教学中，徐老师首先出示情景图，明确题意，列出算式：2×14。接着让学生自主探索计算方法，学生们有的看图知道得数，有的用加法算出得数，有的用小棒摆出得数，也有的用乘法算出得数。然后组织学生交流自己的算法，老师板书初始竖式（图1）：

同时结合讲解、教具演示、学具操作进行数形结合，引导学生将这一竖式简化（图2）。这里，徐老师没有一味地讲解算法，而是紧紧联系算理，通过教具、学具的演示操作，让学生在直观算理的支撑下去学习抽象的算法，注重数形结合，将直观的算理与抽象的算法有机融合，使学生直观、明了地理解了原本抽象的算法，建立起竖式计算的模型。这样的教学以思维为主线、以算理为先导、以创造为契机，学生不但理解了算理，而且创造出了简便的计算方法，并归纳出计算法则，实现了算理与算法的有效融合。