中学物理竞赛中连杆类习题的应对策略

黄　晶

近年来在物理竞赛中开始出现有关连杆机构的题目，如2007年第24届全国中学生物理竞赛第2题. 由于此类装置平时较少涉及，导致部分同学对此束手无策，下面通过实例讨论给出此类问题的一般分析思路.

例题：图1中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图. AB和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上. BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）. 当AB杆绕A轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置. BC杆与CD杆都与水平方向成角45°，已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定. 求此时C点加速度的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）？

一、速度分析

方法一：基点法[1]

以B点为基点，C点运动可以看成随B点的平动与绕B点的转动的合成. 即有vC=vB+vBC，矢量图如图2所示. 所以有vC=vBcos45°=vB=ωl.

方法二：速度投影法

速度投影法指的是平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影必定相等. 它说明刚体上任意两点间的距离在任意时刻都是不变的，实质上反映了刚体不变形的属性. 具体可列出：

vC=vBcos45°=ωl.

方法三：速度瞬心法[2]

根据速度瞬心的定义，分别作出杆两端点速度vB和vC的垂线交于O点，O点即为速度瞬心，如图3所示.

设杆BC的角速度为ω1，则有ω1==. 故有vC=ω1·OC=ωl.

二、加速度分析

方法一：基点法

此机构中，连杆做平面运动. 由于B点加速度已知，以B点为基点，则C点的加速度可表示为aC=aB+a[n][CB]+a[τ][CB]. 其中杆BC角加速度方向如图4所示.

由于C点绕D点做圆周运动，其加速度可以分解成切向和法向两部分，如图5所示，即有aB+a[n][CB]+a[τ][CB]=a[n][C]+a[τ][C].

将矢量方程投影可得：

a[n][C]=aBcos45°-a[τ][CB]=

a[τ][C]=aBsin45°+a[n][CB]

解得a[n][C]=ω2l，

a[τ][C]=ω2l，β=ω2.

则aC ==ω2l.

方向为与CD杆有夹角：

θ=arctan=arctan6.

方法二：加速度瞬心法

1. 解析法找加速度瞬心

以B点为原点建立直角坐标，容易分析得连杆做平面运动的加速度瞬心Q在第四象限. 如图6所示，将矢量方程aQ=aQB+a[n][QB]+a[QB][τ][QB]投影可得： a[n][QB]·cosα=[τ][QB][a]·sinα

a[n][QB]·sinα+[τ][QB][a]·cosα=aB

ω12·x=β·（-y）

ω12·（-y）+β·x=ω·l

解得x=l，y = -l，此即Q的坐标.

2. 几何法找加速度瞬心

如图7所示，过B点沿aB方向作线段BB1==4l，称有向线段BB1为当量加速度. 过B1作CB的垂线交CB于E点. 作线段CC1==l，过C1作CC1的垂线交EB1于A1，并连接CA1. 分别以CA1和BB1为直径作圆相交于E、Q点. 则Q点即为杆BC的加速度瞬心. 下面给出简单证明.

可以得到△A1B1Q与△CBQ相似，则有=. 而β=ω12=ω12.

将aQ=aQB+a[QB][τ][QB]+a[n][QB]同时除以ω12，得=++，其中==B1Q. 所以=B1B+B1Q+QB=0. 即aQ=0.

找到Q的位置后，连接QC，可得QC=l，则aC=·QC=ω2l. 在此瞬间杆BC可以看成绕加速度瞬心Q转动一样（但是各点的速度分布还是绕速度瞬心转动），并且各点的加速度大小都与该点到加速度瞬心Q点的距离成正比：==. 如图8所示. 这样求杆BC上任意一点的加速度就很容易了，如F点的加速度为aF=·QF，只要求出QF即可.

三、小结

1. 基点法即理论力学中的夏莱定理，它将平面运动分解成平动和转动，是研究复杂运动最基本、最典型的方法.

2. 投影法可以从夏莱定理结合刚体的定义推导出来，值得注意的是加速度只有平面运动的角速度为零时候才能用投影法，本例中由于杆的角速度不等于零所以不能用加速度投影法.

3. 瞬心法的目的都是想利用计算定轴转动刚体上任一点的速度、加速度的方法求解平面运动刚体上任一点的速度、加速度，从而使物理情景加以简化.

参考文献：

[1] 林敬圣.理论力学[M]. 上海：上海科学技术出版社， 1993.

[2] 黄晶.速度瞬心在中学物理竞赛中的应用 [J]. 物理教学探讨，2008（7）.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。