张角定理在证明线段相等中的应用

丁　丽

本文现将张角定理及其在线段相等证明中的应用介绍如下，供参考.

一、张角定理

如图1，设直线AB上有一点C，在直线AB外有一点P，且视点P对于线段AC，CB的张角分别为α，β，若α+β<180°，则=+.

证：△PAB＝△PAC+△PCB，

∴PA·PB·sin（α+β）

＝PA·PC·sinα+PC·PB·sinβ两边同除以

PA·PB·PC，即得所证.

二、应用举例

例1在线段AC上任取一点B，分别以AB，BC为边，在AC的同侧，作等边△ABD，△BCE；连AE，交DB于M；连DC，交EB于N.

求证：BM＝BN.

证：如图2，以B为视点，分别对A，M，E及D，N，C用张角定理，得=+，=+，而BA＝BD，BE＝BC，∴BM＝BN.

例2 已知四边形MCND两组对边延长所得交点的连线AB与四边形的一条对角线CD平行，又MN的延长线交AB于F.

求证：AF=FB.

证：如图3，设∠MAC=α，∠CAB=β，以A为视点，分别对B，N，D；B，C，M及F，N，M用张角定理，得

=+， （1）

=+， （2）

=+，（3）

在△ACD中，= . （4）

∴（1）+（2）-（3）-（4），得=，

∴AB=2AF，故AF=FB，.

例3 如图4，以⊙O的直径AB为一边作等边△ABC，同时将另一侧的半圆三等分，其分点为M，N，连结CM，CN交AB于D，E.

求证：AD=DE=EB.

证：连结AM，OM，则以A为视点，对C，D，M用张角定理，得

=+，

∴AD=.

设⊙O的半径为R，则

AD==R.

由图形的对称性知：BE=R.

∴DE=2R-R-R==AD=EB.

例4 已知M是⊙O的弦AB的中点，过M任作两弦CD，EF，连结CF，DE分别交AB于G，H. 求证：MH=MG（蝴蝶定理）.

证：如图5，设∠GMF=α，∠HMD=β，

以M为视点，对E，H，D及F，G，C分别用张角定理，得

=+， （1）

=+.（2）

∴（1）－（2），得

sin（α+β）（-），

=（MF-ME）-（MD-MC）. （3）

设P，Q分别是CD，EF的中点，则

MD-MC=2MP=2MOsinβ，

MF-ME=2MQ=2MOsinα，（4）

∵ME·MF=MC·MD，

∴将（4）代入（3），得

sin（α+β）（-）=0，

∵α+β≠180°，∴sin（α+β）≠0，

∴MH=MG.

例5 在“筝形”ABCD中，AB=AD，BC=CD，过AC，BD的交点O任作两条直线，分别交AD于E，BC于F，AB于G，CD于H. GF，EH分别交BD于I，J.

求证： OI=OJ.

证：如图6，易知AC⊥BD，设∠EOD=α，∠DOH=β. 以O为视点，分别对G，I，F；E，J，H；A，G，B；A，E，D；C，H，D和B，F，C用张角定理，得

=+， （1）

=+， （2）

=+， （3）

=+， （4）

=+， （5）

=+， （6）

将（3）和（6）中OG与OF的表达式同时代入（1），得

=（OA·OBsinβsinα+OA·OC

sinβcosα+OB·OCsinαsinβ+OA·OCsinαcosβ），（7）

将（4）和（5）中OE与OH的表达式同时代入（2），得

=（OC·ODsinβsinα+OA·OC

sinβcosα+OA·ODsinαsinβ+OA·OCsinαcosβ），（8）

因为OB=OD，所以由（7）和（8）即得OI=OJ.

综上所述可知，应用张角定理证明线段相等时，关键在于根据题设，寻找与结论有关的线段所在的三角形，找准视点，利用张角定理写出关系式，再结合三角知识，通过变形化简，消去无用的参变数即可.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。