拟似微分演算及其在非线性方程组的柯西问题上的应用

Guy Metivier

ParaMDifferential Calculus

and Applications to the

Cauchy Problem for

Nonlinear Systems

2008, 135pp.

Paperback

ISBN:9788876423291

Edizioni Della Normale

G.梅梯维埃著

非线性偏微分方程组是当前数学分析研究的核心，它有着许多重要的实际应用，例如量子物理学中的非线性薛定谔方程。众所周知，非线性数学比线性数学难度要大的多，因此，从20世纪后半叶，数学家通过各种方法企图对非线性问题取得突破。本书介绍的微局部分析就是日本数学家佐藤翰夫在1958年开创的，50年来成为数学的一门分支和研究非线性问题的有效工具。

本书是对这个工具的一个初等引论，它显示如何用拟似微分演算来证明能量估计和约化方程组，特别证明非线性偏微分方程的柯西问题的适定性。著者指出，拟似演算的方法也能解决本书没有涉及的椭圆型方程以及奇异性(奇点)传播等关键问题，只是那些问题更为专门，很难在如此小的篇幅内解释清楚。

本书分为三部分，共8章。第一部分是关于演化方程的导论，含第1~3章。1.符号和例子，特别举出气体动力学、Maxwell方程组、磁流体力学和弹性理论中的方程；2.常系数方程组，Fourier综合、介绍Fourier分析这种精确方法；3.对称化子方法，这也是经典方法，尤其适用于复系数情形。第二部分拟似微分演算，含第4~6章，这部分进入本书主题，即1979年由J.睲.Bony发明的拟似微分演算。4.伪微分算子(—译拟策分算子)。这一部分理论现在也是经典的，但处理方法是用Littlewood瞤aley的调和分析理论；5.拟似微分演算；6.符号演算，这两章是本书的主题，目的是使非线性表示近似的线性化。第三部分应用，含第7~8章。7.非线性双曲型方程组；8.薛定谔方程组。

本书简明扼要，论述十分清晰。可供研究生、大学教师、研究人员学习参考。

胡作玄，研究员

(中国科学院系统科学研究所)

Hu Zuoxuan, Professor

(Institute of Systems Science,CSA)