数学解题的教学

彭兴胜

数学教学的目的是使学生掌握必要的数学知识,并会应用所学知识解决实际问题;而检测学生的数学知识水平及数学能力的有效途径就是解数学题,所以数学教学的主要任务是解题教学。通过解题教学,可以巩固学生所学知识,又可以培养学生的思维能力。因此,解题教学的成败直接决定学生学习数学的成败。

学习数学的目的是会用数学知识解决实际问题。数学教学的最终目标是要培养学生善于把数学知识应用于解答实际问题的能力,而许多数学题又来源于实际,是实际问题的抽象模型。所以,要学会运用数学知识分析和解决实际问题,就要先学会解数学题。

美国数学家哈尔莫斯指出:“问题是数学的心脏,数学家存在的理由就是解问题,因此,数学的真正的组成部分是问题和解。”著名数学家波利亚也曾说过:“掌握数学就意味着善于解题,不仅善于解一些标准题,而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题。”[1]

解题教学是学习数学和应用数学的链接点,是实现教学目的重要途径。解数学题是测试学生的数学知识水平,评估学生的智力发展水平以及了解学生的数学能力等的重要手段和依据。数学的解题教学不仅可以使学生适应各种必要的水平测试,而且可以实现解数学题的根本目的,使学生在学会解题的过程中学好数学的基本知识,发展数学能力,培养科学态度和辩证唯物主义观点。由此可见,中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。

解题是一项系统工程,解每一道题都不是独立的。解题需要综合运用数学基础知识、解数学题的方法、数学的思维方法、解题经验、逻辑知识、解题的思维品质和对数学的兴趣,以及语文水平、社会生活知识和其他学科知识等。这些相关因素对于不同的人,或者同一个人不同的学习阶段和不同的题都是不同的,解题者由这些因素所引起的解题障碍也是千差万别的。所以在解题教学中,要针对学生表现出来的某些因素的缺陷,因材施教,加强其相应知识的教学和有关能力的培养。

怎样进行解题教学呢?根据解题所涉及的各种因素,解题教学的工作是多方面的、无限的,但关键的要做好以下4点。

1)要注重数学基础知识的教学,加深理解概念,帮助学生打好解题的基础。数学概念是整个数学宫殿的基石。事实上,许多数学题目都是概念的派生物或概念的变式或是由概念等基础知识构成的。数学题的解答都是反复运用基础知识的过程。所以理解和掌握数学基础知识是数学解题的必要前提,同时解题也是巩固基础知识的最好途径。

2)解题教学中要注重学生解题思路的指导。数学教学最关键的是教给学生方法,要让学生能“举一反三”“以一当百”。在解题教学中要教给学生解题的“三步曲”。

第一步,观察。观察是人们认识事物、增长知识的基本途径,是发现和解决问题的前提,是联想的基础。只有全面、深入、正确地观察,去透过现象、认识本质,才有可能联想有关知识制定解题策略。要让学生遇到数学题时,仔细观察,要弄清楚题目:要求解(证)的问题是什么?它是哪种类型的问题?题目告诉我们什么?要求的结论是什么?所给的图形或式子有什么特点?能否用图示表达题中的有关量?题目有没有隐含条件?

第二步,联想。联想是转化的翅膀,要善于从问题的条件和结论出发联想有关的知识,从中寻找解题途径。遇到数学题要想:这个问题以前见过吗?以前做过类似的问题吗?当时是怎样做的?题中所给的式子、图形与自己熟悉的式子、图形相像吗?它们之间可能有什么联系?与这个问题有关的知识(基本概念、定理、公式等)有哪些?由题目的已知条件能推出什么?要求的结论需要什么?未知和已知之间能否联系起来?解这类题通常有哪些方法?用哪一种方法可能较简便?

第三步,转化。转化是解题的手段,在转化中确定解题方案。通过观察和联想,要会把题中复杂的式子化简,把问题转化为几个小问题,正面解决困难能否转化为求其反面(正难则反),几何问题能否转化为用代数法、代数问题能否转化为用几何法(数形结合),能否把未知转化为已知,等等。通过这一系列的转化,从而找到解决问题的方法。

3)注重数学思想方法的渗透,培养学生的数学思维能力。在解题教学中要注重数学思想方法的渗透,加强通性通法的指导与训练,培养学生的数学思维能力。解题是需要方法的,要在解题教学中教会学生掌握必要的数学方法技能和数学思想,特别是数形结合思想、分类讨论思想、方程与函数思想、换元思想、转化与化归思想等。这些数学思想方法是数学的精髓,要在解题教学中对这些思想方法进行归纳总结,并加以应用,才能把数学知识与技能转化为分析问题、解决问题的能力,从而提高学生的解题技能。

4)解题后要总结反思,积累解题经验。“学而不思则罔”,要在解题后引导学生反思,反思解题过程中的思想方法、思维方式,把数学教学的过程转化为数学思维活动的过程。要想这个题如果条件改变后得什么?结论变后需要什么条件?这道题还有没有其他解法?通过一题多解、一题多用、一题多变培养学生思维的灵活性。而对做错的题要建立一个“错题集”,把容易做错的题归类整理,认真分析,总结错误原因,从中汲取解题教训,从而不断总结解题经验,优化解题。

参考文献

[1]波利亚.怎样解题[M].阎育苏,译.北京:科学出版社,1982

(作者单位:贵州省毕节地区织金县第五中学)