应用方程解决“三数”问题

王竞进

平均数、中位数和众数都能够反映一组数据的集中程度.在实际问题中，若能根据“三数”的概念和题中所隐含的等量关系，建立方程或方程组，常可以使问题得到巧妙解答.

例1在一次英语口试中，已知某班50分的有1人，60分的有3人，70分的有4人，90分的有5人，100分的有1人，其余学生都为84分.已知该班平均成绩为80分.问：该班有多少人？

解析：本题可以根据平均数的意义，建立以班级人数为未知数的一元一次方程.

设该班有x人，根据题意，得：

50×1+60×3+70×4+90×5+100×1+84×（x-14）=80x.

解得x=29.故该班有29人.

例2有一组数据：8，8，x，6.若这组数据的众数和平均数相同，则这组数据的中位数是.

解析：观察易知，这组数据的众数为8或6.当众数为8时，8+8+x+6=8×4，解得x=10.当众数为6时，8+8+x+6=6×4，解得x=2.但显然x应当为6，否则6便不是众数了，故x=2应舍去.所以，这组数据为8，8，10，6，它们的中位数是8.

点评：本题渗透了分类讨论的数学思想.当数据中有未知数时，一定要注意就各种可能的情况进行分类讨论. 例3某种针织内衣，共有7个品牌，价格不等.小荣去买这种针织内衣的中档品牌.营业员告诉他，这7个品牌针织内衣的平均价格是38元.从低档到高档排列，前4个品牌的针织内衣的平均价格是33元，后4个品牌的针织内衣的平均价格是42元.你知道小荣要买的针织内衣的价格吗？

解析：我们不妨将这7个品牌针织内衣的价格按照从低到高的顺序依次排列，并设为x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7（单位：元）.则小荣要买的针织内衣价格就是x4元.由条件中的前4个品牌和后4个品牌的平均价格以及这7个品牌针织内衣的平均价格入手，可以得到三个方程：

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7 ×38.①

x1+x2+x3+x4=4×33.②

x4+x5+x6+x7=4×42.③

②+③-①，可得x4=34.所以小荣要买的针织内衣的价格是34元.

点评：在这个问题的解答中，根据平均数的意义建立适当的方程模型，并渗透了整体思想.事实上，本题中只有x4可以求出.

例4某校八（1）班积极响应校团委的号召，向“希望工程”捐献图书.全班40名同学共捐图书320册.特别值得一提的是李扬、王州两位同学，他们在父母的支持下各捐献了50册图书.班长统计了全班的捐书情况，制成表1（被粗心的马小虎用墨水污染了一部分）.

（1）分别求出该班捐献7册图书和8册图书的人数.

（2）请算出捐书册数的平均数、中位数和众数，并判断其中哪些统计量不能反映该班同学捐书数量的一般状况，请说明理由.

解析：本题中隐含着两个等量关系：捐献7册图书的人数+捐献8册图书的人数=9；全班40名同学所捐图书的总册数=320，换言之，捐献7册图书的人捐书的总数+捐献8册图书的人捐书的总数=66.可以据此建立二元一次方程组.

（1）设该班捐献7册图书的有x人，捐献8册图书的有y人，根据题意，得x+y=9，7x+8y=66，解之得x=6，y=3.

（2）平均数为320÷40=8，中位数为6，众数为6.平均数不能反映该班同学捐书数量的一般状况，因为捐书达到8册及8册以上的只有5人，而大部分同学在6册左右.

点评：本题将二元一次方程组与统计知识有机地融为一体，考查了同学们综合应用知识的能力.这类“墨水污染”问题也是中考的常见题型.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。