中考中的位似图形问题

孙中建

位似图形是图形相似的重点内容之一，在每年中考中多有涉及.本文结合近年各地中考题对位似图形问题进行分类解析.

一、确定位似中心和位似比，并对所画的图形予以说明

例1 （1） 如图1，点O是等边△PQR的中心，P ′，Q ′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，则△P ′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时△P ′Q′R′与△PQR的位似比和位似中心分别是（）.

Ａ． 2，点P Ｂ．，点P Ｃ． 2，点O Ｄ．，点O

（2） 如图2，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后说明相应的问题．

画法：① 在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上.

② 连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E ′C ′∥EC，交OA于点C′，作E ′D ′∥ED，交OB于点D ′.

③ 连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．

请说明△C′D′E′是等边三角形．

解析： （1） D

（2） 由E′C′∥EC，得 = ，∠CEO=∠C′E′O.由E′D′∥ED，可得 = ，∠DEO=∠D′E′O.

∴ = ，∠CED=∠C′E′D′，进而可知△CED∽△C′E′D′.

因△CDE是等边三角形，所以△C′D′E′也是等边三角形.

二、根据位似图形，确定点的坐标

例2 如图3，将△OAB以O点为位似中心，放大到原来的2倍得到△OA′B′，请写出各顶点的坐标.你从中发现了各顶点的坐标发生了什么变化？

解析： 已知直角坐标系内的位似图形，可以写出图形中各顶点的坐标，再根据对应点坐标的关系确定变化关系．观察图形，可知△OAB各顶点的坐标是：O（0，0），A（3，0），B（2，3）．△OA′B′各顶点的坐标是：O（0，0），A′（6，0），B′（4，6）．

观察各顶点坐标可以发现，O点的坐标不变，顶点A′，B′的坐标是将点A，B的横坐标和纵坐标都分别扩大2倍得到的．

三、根据点的坐标画位似图形

例3 如图4，在△ABC中，已知A（-4，-4），B（-2，-4），C（-6，-8），画出它的一个以原点为位似中心、位似比为 的一个位似图形．

解析： 解决问题的关键是确定位似图形各个顶点的坐标.点A的对应点A′的坐标为：x=-4× ，y=-4× ，即（-2，-2）．类似可求出点B′，C′的坐标分别为（-１，-2），（-3，-4）.依次连接A′，B′，C′三点，则△A′B′C′就是要求的与△ABC位似的图形．

四、与物理知识相结合

例4 在小孔成像问题中，根据图5所示，若O到AB的距离是18 cm，O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物AB长的（）．

A. 3倍B.

C. D. 不知AB的长度，无法判断

解析： 如图5，△OAB和△OCD是位似图形，点O是位似中心.所以AB和CD的位似比是 = .所以像CD是物AB长的 ．选C．

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。