例说化归思想在解题中的应用

陈明娟

在解题的过程中，有意识地将生疏、复杂的问题转化为熟悉的、简单的问题来处理的思维方式就是化归思想，它是一种重要的数学思想，下面例说化归思想在解题过程中的应用.

一、正逆转换

数学中不少概念、运算和符号、思维方式是互逆的.如加减、乘除、乘方与开方、指数与对数、原函数定义域与反函数的值域、直接法和间接法、正向思维和逆向思维等等.例1 已知a,b,c为实数，A=a+2-2b+π2,B=b+2-2c+π3,C=c+2-2a+π6,试证A、B、C中至少有一个值大于0.(2000年北京初中竞赛题)

析解：若按A、B、C中有1个、2个、3个大于0分类求解十分繁杂，为此，须改证其等价命题A+B+C>0，则知原命题必成立.因为A+B+C=(a-1)+2+(b-1)+2+(c-1)+2+π-3>0，所以A、B、C中至少有一个值大于0.

二、类似转换

数学中有许多概念和公式或形状类似或意义类似，如方程与方程组、方程与函数、相似与全等，等等.这些关系总有着千丝万缕的联系，可利用题设特征进行转化.例2 已知：m1=a+ba-b,m2=c+dc-d,m3=ac-bdad+bc,求证：m1+m2+m3=m1m2m3.

分析：将表达式适当变形，m1=a+ba-b=1+(ba)1-(ba),m2=1+(dc)1-(dc),m3=1-(bdac)(dc)+(ba),发现其外形与三角正切公式神似，通过换元，促其转换.

证明：令tanα=ba,tanβ=dc,则m1=1+(ba)1-(ba)=tan(45°+α),同理：m2=tan(45°+β),m3=1-tanα5tanβtanα+tanβ=cot(α+β)=tan［90°-(α+β)］,又∵(45°+α)+(45°+β)+［90°-(α+β)］=180°，∴tan(45°+α)+tan(45°+β)+tan［90°-(α+β)］=tan(45°+α)tan(45°+β)tan［90°-(α+β)］,即：m1+m2+m3=m1m2m3.

三、特殊与一般转换

探求一般性问题，往往先从简单情形或特殊情况入手，先解决特殊性，通过联想，以求得一般性解答方案或途径.但有时某些特殊性问题由于条件隐蔽且计算量大，于是不妨先将其抽象成一般的命题，证明其正确性，然后再返回到特殊命题中.

例3 计算1995+3-2×1995+2-19931995+3+1995+2-1996.

(2000年北京市初中竞赛题)

解：设1995=a，则原式=a+3-2a+2-(a-2)a+3+a+2-(a+1)=(a-2)(a+2-1)(a+1)(a+2-1)=19931996.例4 如图1，△ABC中，AB=AC=2,BC上有100个不同的点Pi(i=1,2,……，100)，记mi=AP+2i+BPi5PiC，求m1+m2+…+m{100}的值.(1990年全国初中数学联赛试题)

析解：取特殊点探索，当Pi为点B或C或BC中点D时，均有mi=4，故可猜想mi=4.事实上，作AD⊥BC于D，则BD=DC,设BD=DC=a,PiD=b,则mi=AP+2i+(a-b)(a+b)=AP+2i-b+2+a+2=AD+2+BD+2=AB+2=4，所以m1+m2+…+m{100}=400.

四、整体与局部转换

整体观察、整体代入、整体变形等都是从整体的角度上考虑，如果把整体分成若干个简单、局部的问题，然后再分而治之，逐个击破.如分类讨论，染色法等都是“化整为零”的具体表现形式.

例5 已知n>2(n∈N)，证明：1n+1(1+13+15+……+12n-1)>1n(12+14+……+12n).(1984年芜湖竞赛试题4)分析：这是一个与n有关的不等式证明问题，我们把其转化成局部问题，逐一论证各个局部问题，找出规律，最终使问题得到解决.

证明：12=12,13>14,15>16,…，12n-1>12n,12>(12)+(14)+……+(12n)n,将上述各式相加，则有：1+13+15+……+12n-1>n+1n(12+14+……+12n),即1n+1(1+13+15+……+12n-1)>1n(12+14+16+

……+12n).

五、数形转换

数与形是一个不可分割的两个数学概念，在解答代数问题时，可据其结构特点及几何意义，将数转换成图形问题，以形助数；另一方面，对于几何图形，也可利用图形特点转换成代数问题，以数解形.

例6 正数x、y、z满足方程组[JB({]x+2+xy+y+23=25,=y+23+z+2=9,=z+2+xz+x+2=16.[JB)]试求：y+2yz+3xz的值.(1994年全国数学奥林匹克试题)解：依题设条件构造如图2，其中∠ROP、

∠POQ、∠QOR分别为150°、90°、120°，OR、OP、OQ分别为x,y3,z，由已

知方程组及余弦定理、勾股定理可求得RP、PQ、QR的平方分别为25、9、16.又在△PQR中，PR+2=PQ+2+QR+2，于是∠PQR=90°，从而S{△PQR}=S{△POR}+S{△POQ}+S{△QOR}=xy23sin150°+yz23+12xzsin120°=xy43+yz23+3xz4=(xy+2yz+3xz)43=6,∴xy+2yz+3xz=243.

评注：若通过解方程组来求值，则会陷入消元的复杂运算之中，将数式转化为形，利用三角形性质使求值变得简单.

例7 在△ABC中，AB=9，BC∶AC=40∶41，则点C与直线AB的最远距离是多少?(第十届美国数学邀请赛试题)

分析：这是一个“形”的问题，若局限于三角形中考虑很难成功，由题可知：C点可看作到两定点A、B距离之比为常数的动点，若建立直角坐标系，则可求出C点轨迹，

轨迹上的点到AB的最远距离不难求出，实现了以数解形的目的.解：如图3建立坐标系，设C(x,y)，则有(x-92)+2+y+2(x+92)+2+y+2=4041化简整理得：(x-328118)2+y+2=(16409)+2，易知当x=328118时，|y|{max}=16409.

六、数元转换

数与元是一对矛盾，但在一定条件下可以相互转换，某些数学问题求解困难处于“疑无路”时，若巧妙将数与元实施转换，则会很快地“柳暗花明”.

例8 求出所有正整数a，使得二次方程ax+2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根.(第三届“祖冲之”杯数学竞赛).

析解：本题是关于x的二次方程，用求根公式或韦达定理处理较繁，若将主元与常数a实施转换，则十分方便，因a是正整数，易得：a=2x+12(x+2)+2≥1(x≠-2)，即x+2+2x-8≤0，故-4≤x≤2，所以x=-4,-3,-1,0,1,2，从而有a=1,3,6,10.

七、动静转换

动与静是对立的两个方面，有时对数学问题中静止元素实施运动，则可将原问题转换为数量关系，使求解十分方便.例9 如图4两个半圆中，大圆的弦与小圆相切，且AB∥CD,AB=4，求阴影部分面积.

析解：图4中较难发现两个半径与已知弦AB的关系，若将静止小圆移动，使两半圆的圆心重合，如图5，易知两图中阴影部分面积不变，则S阴=12π(R+2-r+2)=12π(AB2)+2=2π.

八、式与方程转换

某些代数式的求值计算难以奏效，若将式的运算转换为方程的求解，则十分简捷.

例10 (1996年北京初中联赛试题)化简2+3+2-3结果是().

A.6 B.2 C.2 D.6-2

析解：本题直接开方不便，构造方程x=2+3+2-3，则x+2=6,而x>0,∴x=6，故选A.

总之，数学中化归思想的应用十分广泛，除了以上几个方面的转化，还有实数与虚数的转化，高次与低次的转化，无限与有限的转化，空间向平面的转化等.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文