不等式证明的新方法

沈虎跃

不等式证明灵活多变，方法众多，问题解决的过程中通常各种方法彼此交叉使用，但有时效果并不理想，因为有些问题蕴涵着新的思想，并不是“强攻”就能见效的，更何况在解决问题的过程中有个好的想法是极其重要的.像抽屉原理一般运用在组合、数论等一些离散数学 中，如果我们将它运用到不等式的证明中，有时却会产生意想不到的效果.

例1 已知实数x,y满足x+y=1,求证：xy≤14.

对此问题本身很简单，解决的方式也很多，我们利用抽屉原理构造不等式，将直达问题的 本质，证法方便、快捷.

证明：由于x+y=1，故由抽屉原理可知x,y在12的异侧(或在12处)，

即(x-12)(y-12)≤0,这样xy-12(x+y)+14≤0趚y≤12(x+y)-14趚y≤14.

所以，原不等式成立，当且仅当x=y=12时取等号.

例2 求证：对于任意的正实数a,b,c，都有aa2+b2+bb2+c2+cc2+a2≤322.

这是2004年第4届中国西部数学奥林匹克第8题^[1]的右边不等式，本届竞赛最难的一部分，原解答显得晦涩，冗长，但若将抽屉原理运用到不等式的证明中，此题解决起来却是酣畅淋漓.

证明：由抽屉原理可知aa2+b2,bb2+c2,cc2+a2至少有两个在22的同侧(或在22处)，不妨设aa2+b2,bb2+c2在22的同侧(或在22处)，

则(aa2+b2-22)(bb2+c2-22)≥0,

即22(aa2+b2+bb2+c2)≤aa2+b2•bb2+c2+12,

故22(aa2+b2+bb2+c2+cc2+a2)≤12+aa2+b2•bb2+c2+c2(c2+a2)≤12+abab+bc+ca+c=32.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”