圆锥曲线的又一统一性质

2008-12-09 03:32郭旭炯
中学数学研究 2008年8期
关键词:准线准点过点

郭旭炯

圆锥曲线的很多性质都和其焦点有关,在此我们不妨称准线和对称轴交点为准点;以焦点在x轴上的圆锥曲线为例,定义点(±m,0)、(±a2m,0)为类焦点、类准点,本文试图对它们之间的联系作些思考.

定理1 已知圆锥曲线C的焦点为F,A为其对应准点,过点F的直线交圆锥曲线C于P、Q两点,R为圆锥曲线C上异于P、Q的点,则直线RQ过准点A的充要条件是P、R关于x轴对称.

证明:不妨以焦点在x轴上的椭圆:x2a2+y2b2=1(a>b>0)为例,设焦点F(c,0),对应准点A(a2c,0).

若把上述性质中的焦点换成类焦点,则可以把性质推广到更一般的情形.

定理2 已知圆锥曲线C的类焦点F′,A′为其对应类准点,过点F′的直线交圆锥曲线C于P、Q两点,R为圆锥曲线C上异于P、Q的点,则直线RQ过类准点A′的充要条件是P、R关于x轴对称.

略证:不妨以焦点在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)为例,设类焦点F′(m,0),对应类准点A′(a2m,0),则上述证明过程中以m代c即证.

参考文献

[1]陈天雄.一道高考解析几何试题的引申及推广.数学通报,2002年第6期.

[2]苏立标.椭圆的“类准线”的性质初探.中学数学教学2007年第3期.

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