分式新题连连看

张正平　许生友

分式是中考的必考内容.近年来，有关分式问题的创新型题目精彩纷呈，令人目不暇接.它的背景更丰富、更贴近学生的生活实际.为帮助同学们熟悉新题型，迎接新挑战，本文特采撷部分新型中考题并加以精析，供同学们参考.

1 求值开放型

例1 （2008年四川省宜宾市）请先将下式化简,再选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值.

(aa-1-1)÷1a2-2a+1.

分析 这类题原本是化简求值题，但一改往常形式，给了我们“自主”的空间，解它时，一是按常规化简，二是在取值时既要注意使运算更简单，同时又要考虑到“隐含条件”的约束（a取不等于1的其它值）.

解 原式=a-a+1a-1•(a-1)2=a-1.

点评 这类问题的答案往往不惟一，主要考查分式有意义的条件，分式的四则混合运算.对字母自主取值体现了对考生的人文关怀，又考查了学生思维的缜密性.

2 情景型

例2 (2008年江苏省扬州市)课堂上，李老师出了这样一道题：

已知x=2008-53，求代数式x2-2x+1x2-1÷(1+x-3x+1)的值.

小明觉得直接代入计算太繁了，请你来帮他解决，并写出具体过程.

分析 正如题中小明一样，初看此题时，确实有点“怯题”，但只要将待求式化简后，发现结果是一个常数，根本与x的值无关.

解 原式=(x-1)2(x-1)(x+1)÷(x+1x+1+x-3x+1)=x-1x+1÷2(x-1)x+1

=x-1x+1×x+12(x-1)=12.

此题与x的取值无关，所以当x=2008-53，原式为12.

点评 本题以学生熟悉的课堂情景为背景进行命题，使严肃的“考场”变成轻松的“课堂”，体现了对考生的人文关怀.

3 说理型

例3 （2008年广西省桂林）有一道题：“先化简再求值：(x-1x+1+2xx2-1)÷1x2-1，其中x=-2008”，小明做题时把“x=-2008”错抄成了“x=2008”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？

分析 读罢此题，疑窦顿生，种种猜测，难以定夺.但依题意，先“化简”，其结果是x2+1，至此，茅塞顿开.

解 (x-1x+1+2xx2-1)÷1x2-1

=［x-1x+1+2x(x+1)(x-1)］×(x+1)(x-1)

=(x-1)2+2x

=x2+1

因为当x=-2008或x=2008时，x2的值均为2008，

所以小明虽然把值抄错，但结果也是正确的.

点评 这是一道说理性问题.本题巧设悬念，扣人心弦，让考生透过现象看本质，有效地培养了同学们“打破沙锅——纹（问）到底”的探究精神.

4 全开放型

例4 （2008年恩施自治州）请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式：

x-4xy+4y2;x2-4y2;x-2y.

分析 每两个代数式组合都可以构成2个分式，因此共可构成6个分式.

解 本题答案不惟一，如x2-4xy+4y2x2-4y2=(x-2y)2(x+2y)(x-2y)=x-2yx+2y .

点评 本题是一道全开放型试题，更有利于培养同学们的创新思维能力.

5 阅读理解型

例5 （2008年广东湛江市）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．

11×2=1-12

12×3=12-13

13×4=13-14

ァ

ィ1）计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6=.

ィ2）探究11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)=．（用含n有的式子表示）

（3）若11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)的值为1735，求n的值．

分析 观察题中各列等式，可发现是将分式“拆分”后，再相加，那么所求式的计算可借鉴这一方法，先将所求式中的每个分式进行“拆分”.即15×6=15-16；1n(n+1)=1n-1n+1；…然后再相加.

解 （1）原式=1-12+12-13+13-14+14-15+15-16=1-16=56.

（2）原式=1-1n+1=nn+1.

（3）11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)

=12(1-13)+12(13-15)+12(15-17)+…+12(12n-1-12n+1)

=12(1-12n+1)=n2n+1 .

由n2n+1=1735，解得n=17.

经检验n=17是方程的根，所以n=17.

点评 解决这类问题时，首先要通过阅读，发现题目中所隐含的解决问题的方法，然后运用这种方法来解决类似问题，这类问题能有效的考查同学们的阅读理解能力以及转化问题的能力.プ髡呒蚪椋盒砩友,男,1967年生.中学高级教师. 近几年致力于初中数学教学的改革,曾在多家省级以上报刊杂志上正式发表教育教学文章2000余篇,参编或主编教辅用书15部,为多家报刊社特约编辑及特约撰稿人.