“有理数的运算”教材分析与教学建议

李树臣　黄田田

有理数的运算是应用最广泛的一种基本运算，它是初等数学的重要内容，是今后将要学习的实数运算、整式运算、分式运算、二次根式的运算等运算的基础. 同时它还是学习其他学科的必备的知识. 因此，加强有理数的运算的研究与教学具有重要的意义. 本文以青岛出版社和泰山出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书》（以下简称《教科书》）为例，就“有理数的运算”的教学目标的设计、内容的呈现形式及教学建议等进行分析，以帮助一线教师更好的教好这一内容.

1 教科书分析

1.1 内容分析

1.1.1 本章的知识结构

1.1.2 本章涉及的数学思想方法

①分类思想

本章在有理数的加法法则、乘法法则、乘方运算的符号法则等内容时，都是按有理数分成正数、负数、0三类分别研究的.

②数形结合思想

本章中有理数加法法则就是利用数轴，运用数形结合的方法经过探究得到的. 借助于数轴的直观性，可以较容易的理解和掌握.

③化归思想

本章中，有理数的减法就是利用“相反数”这一概念转化为加法来运算的，得到了减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 这一转化，使得加、减得到统一；有理数的除法就是利用“倒数”转化为乘法来运算的，得到了除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数. 从而使得乘、除法得到了统一.

1.1.3 本章的重点、难点和关键

有理数的运算贯穿于本章的始终，其中主要是有理数的加法和乘法，有理数的减法和除法分别可以转化为加法和乘法，所以有理数的加法和乘法的法则以及运算律是本章学习的重点.

在重点内容中的异号两数相加和两个负数相乘，比较抽象，不容易进行直观的理解，所以异号两数相加的法则和两个负数相乘的法则是同学们学习中第一个的难点. 另外，把有理数的加减混合运算式写成省略加号的和的形式是本章的另一个难点.

克服难点的关键有三：一是引导学生搞清楚有理数的加法与减法、乘法与除法互为逆运算，并且加减运算可以统一为加法，乘除运算可以统一为乘法的算理；二是在实际应用中加深对这些法则的理解，增强应用意识；三是在解决问题的过程中注意渗透数形结合的思想和转化的思想.

1.1.4 课时安排

本章内容安排在七年级上学期学习，本册教科书共8章，其中“有理数的运算”是第3章，包含5节内容，计划用11课时完成，分别是：

3.1有理数的加法与减法，3课时

3.2有理数的乘法与除法，3课时

3.3有理数的乘方，2课时

3.4有理数的混合运算，1课时

3.5利用计算器进行简单的计算，1课时

回顾与总结，1课时.

1.2 教学目标的设置体现了新课程的价值要求

教科书遵循《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）（以下简称《标准》）的理念，是从以下四个方面落实课程目标的：

知识技能：（1）经历探索有理数的运算法则的过程、掌握有理数的加、减、乘、除运算；（2）理解乘方的意义，掌握有理数的乘方运算及简单的混合运算（以三步为主），会用科学记数法表示绝对值大于10的有理数；（3）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；（4）能运用有理数的运算解决简单的实际问题；（5）能用计算器进行有理数的四则运算.

数学思考：（1）在探索有理数的运算法则的过程中，培养学生分类、归纳、概括能力，培养他们敢于作出合理的推断和猜想的精神；（2）在具体的有理数运算中灵活运用运算律，发展思维能力.

解决问题：（1）在探索有理数的运算法则的过程中，培养主动提出问题的精神，并能用自己的语言清楚地表达获得的结果；（2）在具体进行有理数的运算中，能说出算理；（3）通过反思，获得解决有理数运算问题的经验；（4）遇到问题能独立提出自己的计算方法，并善于和同伴进行交流.

情感与态度：（1）通过丰富的数学活动，从中发现问题，探索有理数运算的规律；（2）敢于面对计算中的困难，并积极创造条件克服困难；（3）主动参与有关计算问题的讨论，敢于发表自己的见解.

从以上的描述可以看出，对目标的要求不只停留在知识技能方面，而且还特别注重了让学生参入数学活动的过程性方面. 注重了数学应用意识的形成和培养，将教学目标的实现有机的融入到精心设计的情境中、过程中和应用中. 所以说上述目标涵盖了数学课程目标的各个纬度，体现了新课程的价值追求.

1.3 教科书的编写特点

科书为了落实上述目标，以《标准》为依据，呈现出“问题情境——建立模型——求解、应用和拓展”的教科书编排体系，就本章而言有以下特点：

1.3.1 以三门峡大坝为背景，提出挑战性的问题

为了使学生经历知识的形成与应用过程，体验到有理数的运算与现实生活的密切关系，全章以三门峡大坝为背景，以真实的数据和富有挑战性的问题，来激发学生的学习兴趣，调动学生思考问题的积极性，引出本章的主要内容和所要研究的主要问题. 同时通过雄伟的三门峡大坝激发学生对祖国大好河山的热爱，增强学生的民族自豪感和努力学习的决心.

1.3.2 创设问题情境，引导学生探究得到有理数的运算法则

关于有理数的运算法则，教科书都是通过创设一定的富有实际意义的问题情境，让学生在探索活动中得到的. 例如，在给出有理数的加法法则之前，教科书给出了海上钻井平台记录潮起潮落的情况，以这一实际问题为例，利用海水涨落的6种不同的情境，引导学生在已有的算术数的加法意义和对正负数的认识的基础上，列出含有正、负数和0的算式，自己得到运算结果. 为帮助同学们理解运算结果的合理性，教科书针对上面的六个问题，分别用点在数轴上位置的变动进行说明，让同学们体会运算法则的合理性.

1.3.3 以数学思想方法为主线串联本章内容

在本章主要涉及三种数学思想方法，其中最为突出的是转化的思想，在有理数的加减、乘除运算中都体现了转化思想，在对有理数的混合运算中，首先要将减法转化为加法，将除法转化为乘法，然后再按照有关的运算法则和运算律进行计算. 这样处理既有助于引导学生关注数学知识之间的联系，更有助于学生数学素质的提高.

1.3.4 以解答实际问题为落脚点，培养学生解决问题的能力

教科书从生活、生产中选取了丰富、鲜活的素材，通过呈现多个现实问题情景的形式，给出了具体的问题，如股票的涨跌情况、足球队比赛情况、黄河水位的变化等实际问题，让学生尝试用有理数运算的知识解答这些发生在学生身边的问题. 这样安排一方面可以把进行有理数运算的技能训练与实际问题的解决融为一体，提高了学生的解题技能；同时学生在列算式解答它们的过程中，体验到建模思想. 充分落实了《标准》中关于“数学作为一种普遍适用的技术”的理念.

1.3.5 利用计算器解答有关复杂的计算问题

为了使学生从繁杂的运算中解放出来，把更多的时间和精力放到更有意义的数学活动中，教科书鼓励学生使用计算器.

2 学情和学法分析

2.1 学生在学习中常见的认识误区和思维障碍

2.1.1 同学们在做有理数的加减混合运算的题目时出错

解答加减混合运算常出现的错误主要是：在把减法运算转化为加法运算时，在“相反数”上往往出错；在交换加数的位置时，忽视了要连同加数前面的符号一起交换的要求.

2.1.2 在两个有理数的乘（除）法运算中，不能正确地确定符号

在有理数的乘除法运算中，首先要确定符号，其次是计算大小. 在确定符号时，应根据“两数相乘或除，同号得正，异号得负”的原则确定. 初学的同学往往混淆有理数的乘法法则和加法法则，把“两数相乘，同号得正，异号得负”错误的理解为“同号两数相加，取相同的符号”.

2.1.3 错用运算律

在利用乘法对加法的分配律时，常出现的问题有二：忘记用括号外面的项去乘括号内的每一项；符号出错.

2.1.4 运算顺序错误

同学们在进行有理数的混合运算时，有时出现运算顺序不对的情况. 在加、减、乘、除、乘方组成的混合运算中，应先算第三级运算，再算第二级运算，最后进行第一级运算. 对于同一级运算，按照从左到右的顺序进行这一法则. 初学的同学，印象不深，容易出错.

2.2 学法指导

（1）有理数的运算与现实生活有着密切的联系，引导学生学习有关的运算法则时，一定要从解决实际问题入手，抓住给出法则前的情境问题，让学生思考如何解答这些问题，在解答这些问题的基础上，归纳出运算法则.

（2）对于重点内容，鼓励学生自主探究，在相互交流的基础上，得到运算法则. 本章的重点内容是有理数的加法法则和乘法法则，对于这两个法则，可通过分析情境问题的特点，然后概括出法则.

（3）在学生独立思考的基础上进行合作交流. 例如，学完加法法则后引导学生利用“相反数”的概念，把减法转化为加法进行计算，从而得到减法法则，之后给出一些加减混合运算的题目，鼓励学生自己独立解答，然后进行相互交流，在相互交流中提高自己的解题能力.

（4）注重知识的应用. 有理数的运算有着广泛的应用，在学生熟练掌握有理数的运算基础上，引导学生解答一些与生活、生产有关的实际问题，这样安排一方面强化了对运算法则的应用，培养了用所学知识解决实际问题的意识；另一方面，可以把有理数的运算的技能训练与实际问题的解决融为一体，达到在解决实际问题的过程中，巩固和提高学生进行有理数的运算技能的目标. 科学记数法更有应用的空间和素材，引导学生用它解答实际问题可加深对科学记数法的理解.

3 教学建议

3.1 结合学生的生活实际，通过具体问题情境进行教学

有理数的运算都有着具体的生活背景，特别是在应用题的教学中，教师一定要创设丰富的、有助于学生自主学习的问题情境，引导学生弄清实际问题的意义、理解实际问题，在分析、思考的基础上正确的列出计算式子.

3.2 注重有理数运算法则的形成过程

有理数的加、减、乘、除、乘方等法则都是在解决实际问题的过程中产生的，注重过程教学是《标准》的要求之一，教科书就非常注重体现这一要求. 教学中我们要尽量引导学生参入这些法则的形成过程，让学生在经历法则的形成过程中理解法则，从而真正掌握运算法则.

案例1 有理数加法法则的归纳过程.

为了归纳有理数的加法法则，教师一定要引导学生进行两次探究活动，首先利用海水涨落的6种不同的情境，列出含有正、负数和0的六个算式，学生通过探究自己得到运算结果. 然后通过点在数轴上位置的变动，再进行探究. 在探究这两个活动的同时，就经历了加法法则的形成过程.

3.3 重视转化思想的渗透和应用

有理数的减法法则和除法法则，分别利用“相反数”和“倒数”概念化归为加法法则和乘法法则，在这里“转化”起着关键性的作用. 教学中一定要使学生知道减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，从而明白能进行转化的道理.

案例2 有理数减法法则的教学过程.

引导学生思考：某足球队在两场比赛中共输球3个，已知第一场输球4个，第二场的输赢情况如何？

如果将赢球记为正，输球记为负，则第二场进球个数为：（-3）-（-4）=？

这是根据减法的意义得到的算式，根据题意.

第二场赢球1个，应有（-3）-（-4）=1.

另，根据有理数的加法，则有（-3）+（+4）=1.

由此可得:

3.4 注重学习方式的转变，促进学生的个性发展

《标准》特别强调要改变学习方式，鼓励学生自主发展. 为落实这一要求，在引导学生探索运算法则和运算律时，教师应设计并组织学生进行观察、思考、探索、交流、发现等数学活动，让学生在参入这些活动的过程中，鼓励他们用自己的语言归纳出运算法则和运算律. 经过小组和全班的交流，逐步形成较为规范的语言，使学生真正理解用数学语言表达的运算法则和运算律的确切含义，会根据具体问题，运用相应的法则和运算律去处理.

案例3 加法交换律的归纳过程.

为了让学生发现加法交换律在有理数范围内仍然适用，可提出下面的问题让学生进行讨论与交流：

（1）（-8）+5和5+（-8）的运算结果相等吗？

（2）（-3.5）+（-4.3）与（-4.3）+（-3.5）的运算结果相等吗？

（3）任意选择两个数相加，试一试.

……

你能发现什么规律？请相互讨论、交流.

（学生思考、议论、交流）

以上是笔者通过研究教科书和《标准》，对“有理数的运算”一章所作的教学研究，不妥之处敬请读者批评指正，我们的目的只有一个，就是创造性地使用教科书，以它为平台，提高学生的知识素养，促进学生全面、健康、和谐发展，这理应是我们广大教师的责任和义务.