一道２００８全国初中数学联赛试题的背景分析、推广与拓展

2008年全国初中数学联赛有这样一题：

已知实数x,y满足(x-x2-2008)(y-y2-2008)=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为（ ） A.-2008 B.2008 C.-1 D.1

1 背景分析

此题是第31届西班牙数学竞赛题的推广，原题是：

若(x2+1+x)(y2+1+y)=1,则x+y=0.

推广上式可以得到：

结论1 若(x2+k2+x)(y2+k2+y)=k2，则x+y=0.

结论2 若(x-x2-k2)(y-y2-k2)=k2，则x=y.

2008年全国初中数学联赛题是结论2的特例. 在［1］文中笔者证明了:

结论3 若(x2+1+y)(y2+1+x)=1,则x+y=0.

结论3是对西班牙竞赛题的推广，下面我们继续给出结论3的推广.

推论1 设x,y∈R,m,n为非零常数且mn>0,若

(x2+m2+mny)(y2+n2+nmx)=mn,则|n|x+|m|y=0.

证明 因为m≠0,n≠0,mn>0,所以mn=|m|•|n|,nm=nm=|n||m|,mn=mn=|m||n|.

所以命题2的条件变为x|m|2+1+y|n|

y|n|2+1+x|m|=1,由命题1知，x|m|+y|n|=0. 即|n|x+|m|y=0.

推论2 若(x-y2-k2)(y-x2-k2)=k2，则x=y.

证明 令y2-k2=m,x2-k2=n,则y2-k2=m2,x2-k2=n2，x=n所给式子等价于(n2+k2-m)(m2+k2-n)=k2,

由命题1知-m+(-n)=0,即m+n=0. 所以y2-k2+x2-k2=0,y2-k2=x2-k所以x2=y2. 于是推论2等价于若(x-x2-k2)(y-y2-k2)=k2，则x=y. 此故推论2成立.

3 拓展

把结论3中的等式拓展为不等式得到：

命题2 已知(x+y2+1)(y+x2+1)≥1,则有x+y≥0.

ザ最后一式为《数学通报》问题1673^[2]，故所证成立.

完全类似的可以得到：

命题3 已知(x2+1+y)(y2+1+x)≤1,则x+y≤0.

为了推广命题2和命题3，先证明下面的引理.

引理 若(x2+k2+x)(y2+k2+y)≥k2,则x+y≥0.

证明 由已知有x2+k2+x≥y2+k2-y，y2+k2+y≥x2+k2-x，

上述两式相加得到x+y≥0.

命题4 若(x2+k2+y)(y2+k2+x)≥k2,则x+y≥0.

证明 令s1=x2+k2+x，s2=y2+k2+y,则

ビ梢理知x+y≥0. 故命题4成立.

推论3 若(x2+k2+y)(y2+k2-x)≥k2，则y≥x.

证明 在命题3中作变换x→-x则推论3显然成立.

推论4 若(x2+k2-y)(y2+k2+x)≥k2，则y≤x.

推论5 继续研究可以得到：

命题5 设x,y∈R,m,n为非零常数且mn>0,若

(x2+m2+mny)(y2+n2+nmx)≥mn,则|n|x+|m|y≥0.

证明 因为m≠0,n≠0,mn>0,所以mn=|m|•|n|,nm=nm=|n||m|,mn=mn=|m||n|,

所以命题5的条件变为x|m|2+1+y|n|

由命题2知,x|m|+y|n|≥0，即|n|x+|m|y≥0.

完全类似的，有

命题7 设x,y∈R,m,n为非零常数且mn>0,若

仿推论3，4可以得到类似的一些推论，此略，留给读者自己去思考.

げ慰嘉南

ぃ1］ 邹守文. 数学奥林匹克初中训练题（15）［J］.中等数学，2008,（1）.

ぃ2］ 齐行超. 数学问题1673［J］.数学通报，2007，(5).

ぃ3］ 符立平. 一道赛题变式的简解［J］.数学通讯，2008,（10）.

ぃ4］ 张必平. 一道西班牙竞赛题的奇异变式［J］.数学通讯，2007,（20）.

ぃ5］ 王善鑫. 一道西班牙赛题变式问题的另解与探究［J］.数学通讯，2008,（9）.

作者简介：邹守文，男，中教一级. 主要从事不等式的研究，发表关于不等式研究以及竞赛不等式研究方面的论文40多篇. 同时，还进行中学数学解题思想方法技巧的研究，参编《中学数学解题思想方法技巧》一书，平时进行竞赛数学和中考的研究，参编《2009陕西中考复习全程攻略》一书. 发表论文100多篇.