一次函数中考压轴题赏析

孟令中

在中考中，借助于一次函数知识解决实际问题的题目，屡屡出现，而且几乎涵盖了所有的题型.下面以几道中考压轴题为例予以说明.

例1（2008年·南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地.两车同时出发.设慢车行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km.图1中的折线表示y与x之间的函数关系.请根据图象进行以下探究.

（1）甲、乙两地之间的距离为 km.

（2）请解释图中点B的实际意义.

（3）求慢车和快车的速度.

（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系的解析式，并写出这时自变量x的取值范围.

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇30 min后，第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时.

解析：图中的折线是由三条线段组成的，三条线段各自表示一个一次函数关系，并且每一个函数自变量的取值范围也都是确定的（因为线段有头有尾）.

x轴上的数表示慢车行驶的时间，y轴上的数表示两车之间的距离.知道了这些，我们就可以着手做题了.

（1）因为y轴上的数表示两车之间的距离，所以当两车出发时，即两车行驶的时间为0 h时，对应的纵坐标就是甲、乙两地之间的距离.所以读取到的第一个信息是: 甲、乙两地之间的距离为900 km.

（2）点B的横坐标为4，说明慢车开出了4 h；而纵坐标为0，说明两车之间的距离为0 km，即两车相遇.所以图中点B的实际意义是：当慢车行驶4 h时，慢车和快车相遇.

（3）由图象可知，慢车12 h行驶的路程为900 km，所以慢车的速度为 =75（km/h）.又当慢车行驶4 h时，慢车和快车相遇，此时两车行驶的路程之和为900 km.设快车的速度为v km/h，则75×4+v×4=900，解得v=150.所以快车的速度为150 km/h.

（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系的解析式，需要知道点B、C的坐标.B点坐标已知.C点隐含的一个重要信息是：快车已到达乙地.

根据题意，快车行驶900 km到达乙地，所以快车行驶 =6（h）后到达乙地.此时两车之间的距离为6×75=450（km）.所以点C的坐标为（6，450）.

知道了B、C两点的坐标后，利用待定系数法易求得线段BC所表示的y与x之间的函数关系为y=225x-900.自变量x的取值范围是4≤x≤6.

（5）第二列快车与慢车相遇时，慢车行驶了4.5×75=337.5（km）.故第二列快车行驶了900-337.5=562.5（km），它的行驶时间为 =3.75（h）.这时，第一列快车已行驶了4.5 h，故第二列快车比第一列快车晚出发4.5-3.75=0.75（h）.

点评：本题既有明了的信息，也有隐含的、需要动脑筋寻找的信息，张弛有度，难易适中，是一道很好的一次函数的综合应用题.虽然题目本身看似庞大、复杂，但只要一步一步地进行分析，把列车运行过程中的实际状态与图象中的各段对应起来，就可逐步加以解决.

例2（2007年·吉林）今年4月18日，我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车.已知每隔1 h有一列动车组列车从甲城开往乙城，它们的速度相同.图2中，OA表示的是第一列动车组列车与甲城的距离s（单位：km）和时间t（单位：h）的函数关系，BC表示的是一列从乙城开往甲城的普通快车与甲城的距离s（单位：km）和时间t（单位：h）的函数关系.请根据图中信息，解答下列问题.

（1）点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间 h，点B的纵坐标300的意义是 .

（2）请你在图中直接画出第二列动车组列车与甲城的距离s和时间t的函数图象.

（3） 若普通快车的速度为100 km/h.

①求直线BC的解析式，并写出自变量t的取值范围.

②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通快车相遇.

解析：（1）点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间晚0.5 h.点B的纵坐标300的意义是甲、乙两城相距300 km.

（2）第二列动车组列车与第一列动车组列车的行驶路程与行驶时间都是一样的，只是发车时间相隔1 h，所以它们的函数的图象是平行、“相等”的.其函数图象如图3中的线段MN所示（第二列较第一列晚出发1 h，晚1 h到达，所以MN∥AO）.

（3）①设直线BC的解析式为 s=kt+b.

∵B（0.5，300）， C（3.5，0），

∴由待定系数法可求得s=-100t+350.

自变量t的取值范围是0.5≤t≤3.5.

②设直线MN的解析式为s=k1t+b1.

因M（1，0），N（3，300），故由待定系数法可求得s=150t-150.

BC与MN的交点的实际意义就是第二列动车组列车与普通快车的相遇.

∴150t-150=-100t+350.解得t=2.

因2-1=1，故第二列动车组列车发车1 h后与普通快车相遇.

点评：在画线段MN时，端点要明确，莫画成直线或射线.另外，题中已隐含了动车组列车与普通快车的速度：150 km/h和100 km/h.利用它们也可解题.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文