垂直性质在生活中的应用

刘　顿

我们知道，垂线有这样两个重要的性质：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点和这条直线上所有点的连线中，这点到直线的距离是最短的，即垂线段最短.这两个性质在我们的生活中有着广泛地应用，现举例说明.

例1 在建筑工地上，当建筑工人把楼房的一部分墙面砌好后，如果你是检测人员，请你设计一种检测墙面是否合格的方案，你将如何操作呢？

分析：要回答这个问题，只要根据“平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的性质即可求解.

解：先检验整个墙面是否平滑，是否在同一平面内，可用直接观察法，然后再找墙上任意一点，用铅垂线方法检验，看垂线是否紧贴墙壁，与墙壁完全重合.若达到这两个要求，可以基本保证墙面质量.

生活中类似本题中的问题到处可见，同学们不妨运用所学的知识去加以解释.

例2 如图1，某工厂P旁边有一条河流，在河岸AB的什么地方建泵站抽水供工厂使用，才能尽量节约铺设的管道？请试着说出其中的理由？

分析：要解决这个问题，只要依据“垂线段最短”的性质即可求解.

解：过P作PQ⊥AB，Q为垂足，如图2，则Q即为泵站位置，根据是垂线段最短.

本题考查垂线段性质的应用，题目虽然简单，但这类题型却经常出现在各种考试卷中，同学们应注意深刻领会.

例3 小刚准备在C处牵牛到河边饮水.（1）请用三角尺作出小刚可走的最短路线（不考虑其他因素）；（2）若小刚在C处牵牛到河边饮水，并且必须到河边D处观察河水的水质情况，请作出小刚行走的路线.（不写作法，保留画图痕迹）

分析：对于第（1）题，根据“垂线段最短”的性质可知，只需过点C向河边所在的直线作垂线段；第（2）题，由于C、D都是已定的点，根据两点之间线段最短，只需连接CD即可.

解：（1）如图3，过点C作CF⊥AB于F，垂线段CF即最短路线.

（2）如图4，连接点C、D之间的线段即小刚行走的路线.

本题考查两点间线段最短与垂线段最短性质的实际应用，要善于利用垂线段最短的性质解决类似有关路程、线段最短问题.

例4（1）要把水渠中的水引到农田P处（如图5），在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图来，并说明根据什么道理.

（2）如果图中的比例尺为1∶100 000，水沟需要挖多长？

分析：对于第（1）问，根据“垂线段最短”的性质可知，只需过点P向水渠所在的直线作垂线段；对于第（2）问，首先要准确地测量出垂线段的长度，再利用比例尺计算.

解：（1）过P画直线AB的垂线，垂足为O，在O点开沟，可以使沟最短.根据垂线段最短，可知线段PO是P与直线上任一点连接成的所有线段中最短的.

（2）用刻度尺测量出线段PO的长度为1.5 cm，根据图中的比例尺可得水沟PO的实际长度为1.5 cm×100 000＝150 000 cm＝1 500 m，即水沟需挖1 500 m.

本题除了考查同学们对垂线性质的掌握程度，还要求同学们亲自动手量一量，测量时一定要注意测量的方法，不能出现错误.

例5 如图6，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N是分别位于AB两侧的村庄.

（1）设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出P、Q的位置(保留画图痕迹).

（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村越来越近？在哪一段路上，距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明）

分析：根据“垂线段最短”的性质，过M、N两点分别作AB的垂线MP、NQ.当汽车行驶到垂足的位置时，汽车离村庄的距离最近；离开村庄时，距离越来越远.

解：（1）过点M作MP⊥AB，垂足为P，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图7.

（2）当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近.

本题主要是利用垂线段的性质来解决问题的，把实际问题“模型”化，在具体转化时一定要依据题意，结合图形求解.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文