巧解钟表夹角问题

陈　亮

钟表指针夹角问题看似复杂，但概括起来无外乎两种情形：一是单针转过的角度问题，二是分针、时针夹角问题.只要同学们认真学习，是很容易掌握其解题要领的，下面分别介绍.

一、求单针转过角度的方法（单针是指时针或分针）

因为钟表上的小格将表盘平均分成60份，每一份（即1小格）对应6°，每一格（1格等于5小格）对应30°，所以，单针（分针或时针）转过的角度等于单针转过的小格数（也是分钟数）乘以6°，时针转过的角度还等于时针转过的格数乘以30°.

例1从2时30分到2时55分，时钟的分针转过的角度大小是；2时15分到5时30分，时钟的时针转过的角度大小是 .

解析：本题的两问都是求单针转过的角度.因为从2时30分到2时55分，分针共转过55 - 30 = 25（min）（也就是25小格），所以，分针转过的角度等于25 × 6° = 150°；从2时15分到5时30分，时针共转过了5- 2= 5.5 - 2.25 = 3.25（h），所以，时针转过的角度等于3.25 × 30° = 97.5°.

二、分针与时针夹角问题，我们可用公式求解

为方便叙述，先设定本情形中涉及的三个量，时针的点数用d表示，分针的分钟数用f表示，两针的夹角用α表示.下面，我们探索d、f、α这三个量之间的关系.

因为钟表的时针12 h转一圈，分针1 h转一圈，所以，分针的速度是时针速度的12倍.分针每分钟转的角度是6°，则时针每分钟转的度数为× 6° = 0.5°，分针与时针每分钟夹角变化的度数就是6° - 0.5° = 5.5°.假设d时f分时两针的夹角为α°，那么分针f min转（6 f）°，时针f min就转× （6 f）° = （0.5 f）°，我们以前一个最近的整点为基准，分针、时针夹角的度数显然等于分针、时针转过的角度之差.如果分针在前，则

α = （6 f）°- [（30d）° + （0.5f）°]，

即α = （5.5f）° - （30d）°.

如果时针在前，则

α = （30d）° + （0.5f）° - （6f）°，

即 α = （30d）° - （5.5f）°.

总之，无论分针在前还是时针在前，都有α = ｜（30d）° - （5.5f）°｜.

这就是解决分针与时针夹角问题的公式，实践中，我们应该有“任意知道d、f、α中的两个量可求出第三量”的灵活性.

例2钟表在1时20分时，它的时针与分针所成角的大小是 .

解析：由题意，知d = 1， f = 20，所以α = ｜30 × 1 - 5.5 × 20｜ = 80°.故填80°.

例3钟表在5时过多少分时，分针与时针的夹角为90°？

解析：本题已知d与α，要求f，可以用方程的思想解题.

设钟表在5时过f分时，分针与时针的夹角为90°.由题意，知d = 5，α = 90°.于是可得方程

30° × 5 - （5.5f）° = 90°

解得f1 =， f2 =.

答：钟表在5时 分或5时 分时，分针和时针的夹角为90°.

指针重合问题，实质是分针、时针夹角为0°的特例.

例4在1时至2时之间的什么时刻，钟表的分针与时针重合？

解析：设在1时过f分时，钟表的分针与时针重合，根据题意，得

30° × 1 - （5.5f）° = 0°.

解得f =.

至于整点时刻分针、时针的夹角，只需数出两针之间（小于平角之间）的格数，然后用格数乘以30°即可.

例5 早上8时的时针与分针的位置如图1，那么分针与时针所成的角的大小是（）.

A. 60°B. 80°C.120° D. 150°

解析：选C.

因为整点时刻分针和时针的夹角等于两针间的格数乘以30°，而本题两针间的格数是4，所以夹角大小为4 × 30° = 120°.

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