学好平行知识 夯实数学基础

郭德乾

古人云：欲修万丈高楼，必先坚筑地基.平行线的知识是几何大厦的基石，在几何王国里到处可以见到它们的身影.同学们要深刻理解平行线定义、识别与特征，并能灵活运用它们解决有关的计算和推理问题.

1. 在生活中，两条笔直的铁轨之间是什么关系呢？在我们的作业本上，两个格线之间又是什么关系呢？

综合上面的关系，两条铁轨可以看成是两条直线，它们之间不能相交；作业本上的线也是不能相交的线.那么这些线与线的关系，我们称为平行关系.

总结：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

注：（1）“在同一个平面内”是定义的前提条件，在空间图形中，不相交的两条直线并不一定平行的.

（2）在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交与平行两种.

我们用符号“∥”表示平行，如果AB平行于CD，记作AB∥CD；也有可能是a平行于b，则记作a∥b.

2. 根据图1我们一起来探索一下下列问题.

（1）经过点C，能画出几条直线与已知直线AB平行？

（2）过点D画一条直线与直线AB平行，它与（1）中所画的直线平行吗？

（3）通过画图，你发现了什么？

分析：同学们想一想，过直线外一点能作出几条线与已知直线平行呢？是一条、两条，还是更多呢？我们从定义出发，可以看出过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，过图中的点D再作一条直线，与过C点的直线什么关系呢？

从图1可以看出，这三条直线是平行关系，所以得出以下的结论：

（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；

（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

探究性问题是由简单到复杂，由浅入深，由特殊到一般探究规律，再利用所得的规律解决问题.

（1）探究规律：如图2，已知直线a∥b，A、B为直线a上两点，C、P为直线b上两点.

①请你写出图2中面积相等的各对三角形：____；

②如果A、B、C为三个定点，点P在b上移动，那么无论P点移动到任何位置，总有____与△ABC的面积相等，理由是____.

（2）解决问题：如图3，五边形ABCDE是张大爷10年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现在已变成图4所示的形状，但承包土地与开垦的分界小路（即图2中的折线CDE）还保留着，张大爷现在想过点E修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地的面积与开垦的荒地的面积一样多.请你用所学过的几何知识，按张大爷的要求，帮张大爷设计出一种修路方案.（不计分界小路与直路的占地面积）

①写出设计方案，并在图4中画出相应的图形；

②说明方案设计的理由.

分析：在图2中，因为a//b，所以a与b两平行线间的距离相等，又因为△ABC与△ABP有一共同的底边AB，所以△ABC与△ABP为同底等高的两个三角形，根据三角形的面积计算公式，可知△ABC与△ABP的面积相等；（2）中的问题可设法构造出（1）中的基本图形来处理.

解：（1）①面积相等的三角形有3对，分别为：△ABC与△ABP，△ACP与△BPC，△AOC与△BOP.

②无论P点移动到什么位置，总有△ABP与△ABC面积相等，理由是：平行线间的距离相等，无论P点在直线b上如何移动，总有△ABP与△ABC同底等高，因此它们的面积相等.

（2）①设计方案如图5，连接EC,过D作DF//EC，交CN于F，连接EF，EF即为所修直路的位置；

②设EF交CD于点H，由上面得到的结论可知，△ECF的面积与△ECD的面积相等，△HCF与△EDH的面积相等，所以五边形ABCDE的面积与五边形ABCFE的面积相等，当然五边形EDCNM与四边形EFMN的面积也相等.

例1判别下列说法是否正确，并说明理由.

（1）不相交的两条直线叫做平行线.

（2）在同一平面内，两条不相交的线段是平行线.

（3）过一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行.

思路点拨：平行线是指在同一平面内不相交的两条直线.在同一平面内与不相交两者缺一不可.

解：（1）不正确.根据平行线的定义，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”，“在同一平面内”是平行线的一个重要条件，是不可缺少的.

（2）不正确.平行线的定义中指的是两条不相交的“直线”，而不能改为“线段”.我们所说的线段平行，实际上是指它们所在的直线平行.

（3）不正确.正确的说法是“经过直线外一点”，而不是“过一点”.因为如果这一点就在直线上，是作不出这条直线的平行线的.

在利用定义及性质时，要注意其成立的前提条件.

例2如图6，AB∥DC，E是线段BC上一点.

（1）过点E画EF∥AB，交AD于F.

（2）EF与CD平行吗？为什么？

思路点拨：可以利用平移三角尺画平行线，画平行线时要“两贴一移一画”.

解：（1）如图6.（通过平移三角尺的方法画EF∥AB）

（2）因为AB∥DC，FE∥AB，根据“两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”，可得EF∥CD.

若a=b，b=c，则a=c，理由是等量代换；若a∥b，b∥c，则a∥c，理由是“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”.

例3如图7，已知a∥b，第三条直线c与a相交.试说明c与b也相交的理由.

思路点拨：要说明c与b相交，所能用的依据，一是平行线的定义，二是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

解：如图7，设a与c相交于A，则a是过直线b外一点A与b平行的直线，由于经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以过点A与b平行的直线是唯一的.故过点A的另一条直线c不能再与b平行，所以c与b相交.

利用经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行的“唯一性”可说明：过直线外一点的n条直线中至少有（n-1）条与这条直线相交.

1. 判断正错（正打“√”，错打“×” ）.

①两条不相交的直线叫平行线.（ ）

②在同一平面内的两条直线不平行就相交.（ ）

③一条直线的平行线有且只有一条.（ ）

④经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行.（ ）

⑤a、b、c是三条直线，如果a∥b且b∥c，则a∥c.（ ）

2. 填空.

①在同一平面内，直线a与b满足下列条件：a与b没有公共点，则a与b的位置关系____；a与b有且只有1个公共点，则a与b的位置关系____.

②若AB∥CD且AB∥EF，则____∥____，

理由是_______________________.

③如图8，在正方体中，与棱AA1平行的棱条数为（ ）.

A.1 B.2C.3D.4

3. 根据题意画图并探索（如图9）.

①过点A作直线EF，使EF∥CD；

②用量角器测量∠1的度数；

③测量以A为顶点的角的度数.

④你发现∠1与其他角有什么关系吗？

4. 某学校田径运动会开始之前体育老师事先画好50 m的跑道，如果是4道，需要画 条平行线；如果画6条平行线，则有 条跑道.

5. 在图10所示的方格纸中，用三角尺分别画出与MN和PQ平行的线段.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文