如何理解和应用绝对值

任风良　唐红霞

绝对值是初中数学知识的重点和难点，在学习时应注意以下几个方面，望同学们能透切理解，灵活运用.

一、注意理解绝对值的几何意义

数a的绝对值记作|a|，它是指数轴上表示数a的点与原点的距离.学习概念时应注意：

（1）绝对值表示的是距离，因此它一定不是负值，即|a|≥0；

（2）满足|a|=3的a值有两个，即a=±3，即绝对值为一个正数的数有两个，这两个数是一对相反数.

二、绝对值的符号如何去

解决含绝对值符号的问题，一般要先去掉绝对值符号，化为不含绝对值符号的形式，然后再求解.去掉绝对值符号的方法主要有以下三个.

1.依据条件去掉绝对值符号.

根据直接或间接给定的条件去掉绝对值符号，这是去掉绝对值符号的常见方法.

例1实数a、b、c在数轴上的位置如图所示.化简：|a|-|a-b|-|c|.

简析：本题主要考查绝对值的概念.通过观察数轴，先判断每个绝对值内式子的正负性，然后根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”，去掉绝对值符号.需要指出的是，a-b正负性的判断极易出错，其最好的判断方法是根据“数轴上右边的数大于左边的数”进行.

解：由图知a<0，a-b<0，c>0.

故|a|=-a，|a-b|=b-a，|c|=c.

∴|a|-|a-b|-|c|=-a-[-（a-b）]-c=-a+a-b-c=-b-c.

2.分类讨论法.

有的题目并未提供直接或间接的条件，此时我们应通过分类讨论的方法去掉绝对值符号.

例2|a|=3，|b|=2，求a+b的值.

简析：本题应先去掉绝对值符号，再分别求出a、b的值，然后求出a+b的值.而条件中没给出a、b的符号，这说明a、b的符号不确定，只能分类讨论了.

解：（1）a>0，b>0时，a=3，b=2，a+b=5；

（2）a>0，b<0时，a=3，b=-2，a+b=1；

（3）a<0，b<0时，a=-3，b=-2，a+b=-5；

（4）a<0，b>0时，a=-3，b=2，a+b=-1.

∴a+b=±5或±1.

注意：分类讨论时要遵循既不重复又不遗漏的原则.

3.加平方法.

有些题目没有可将绝对值符号去掉的已知条件，分类讨论又比较麻烦，此时可考虑加平方的方法，可起到意想不到的效果.

例3已知|x|-1=|x+1|，化简|3-x|.

简析：此题应先将条件|x|-1=|x+1|化简，从而判断x的取值范围，再化简|3-x|.而如果采用分类讨论法化简|x|-1=|x+1|，比较麻烦，如果采用两边都加平方的方法，可将等式化简.

解：∵|x|-1=|x+1|，

∴（|x|-1）2=（|x+1|）².

∴x²-2|x|+1=（x+1）².

∴x²-2|x|+1=x²+2x+1.

∴|x|=-x.

∵|x|=-x≥0，

∴x≤0.

∴3-x>0.

∴|3-x|=3-x.

注意：当等式两边都有绝对值符号时，可考虑采用此法.

三、如何用|a|≥0

1.根据|a|≥0，求a的取值范围.

例4已知|2a-3|=3-2a，求a的取值范围.

简析：解此题时不要去刻意地讨论或猜测a的取值，而应该重点注意|2a-3|，见绝对值则必想到非负性，这应成为我们的思维定势.

解：∵|2a-3|≥0，

∴|2a-3|=3-2a≥0.

∴a≤.

注意：|2a-3|≥0，而不是|2a-3|>0.

2．形如|m|+|n|=0，则m=0，且n=0.

例5已知|a+3|=-|b-4|，求a+2b的值.

简析：在|m|+|n|=0中，因|m|≥0，|n|≥0，而|m|、|n|任意一个大于零时，|m|+|n|=0都不成立，故必须m=0且n=0.

此题猛一看不是上述形式，但在细心观察|a+3|=-|b-4|后会发现：将右边移项到左边后即可构成上述形式.

解：∵|a+3|=-|b-4|，

∴|a+3|+|b-4|=0.

∵|a+3|≥0，且|b-4|≥0，

∴|a+3|=0，|b-4|=0.

∴a=-3，b=4.

∴a+2b=5.

注意：多个绝对值相加等于0，则每一个绝对值部分都等于0.

初中阶段有三个非常重要的非负值，同学们要牢牢记住，即平方、绝对值及以后要学的算术平方根，它们贯穿了整个初中阶段，是初中阶段的基础内容.