数的开方全攻略

葛余常

《数的开方》一章主要包括两块内容：平方根与立方根；实数与数轴．这些知识都是研究数的基础．为了帮助同学们扎实地掌握这些内容，现对这部分的重点知识进行扫描．

一、学习目标导引

1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.

2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.

3. 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点是一一对应的关系.

4. 能用有理数估计一个无理数的大致范围.

5. 在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值.

6． 通过学习能经历观察、猜想、验证、演算、归纳等数学活动过程,进一步培养发现问题、提出问题和解决问题的能力．体验数学源于生活,同时应用于生活，体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性和准确性．

二、精彩要点导播

本章概念较多，正是有了这些才奠定了本章的基础，如果同学们通过复习能够顺利地完成下列填空题，相信你会是不一般的学生.

1. 叫平方根，叫算术平方根，叫立方根.

2. 平方根与算术平方根的区别是，联系是.

3. 用计算器求一个非负数的算术平方根的方法是，求立方根的方法是.

4. 平方与开平方的关系是.

5. 平方根、算术平方根、立方根的性质分别是.

6. 叫无理数.无理数应满足三个条件：①；②；③.无理数的常见形式有.

7. 叫实数.实数的分类可从两个角度去思考：①按定义来分类：

；②按正、负数来分类：.

8. 数与数轴的关系是.

9. 数的性质有：.

10. 数的运算顺序是.

三、重点难点导学

正确理解平方根、算术平方根和立方根的概念和求法及实数化简和运算是本章学习的重点.弄清平方根与算术平方根的区别和联系，实数的概念和性质是本章学习的难点.把握开方运算和乘方运算的关系，无理数的概念和实数的分类是学习关键.

四、思想方法导游

数学思想方法是解决问题的工具，但要灵活运用到解题中去并非易事，要不断积累，逐步内化成自己的经验，这样才能将思维提高到一个高度.《数的开方》中常见的数学思想方法主要有以下几个.

1. 方程思想.在讨论平方根和立方根的定义的时候我们就体会了方程思想的运用，在利用数的开方的知识解决具体问题时也会经常涉及构造方程求解.

2. 转化思想.在数学研究中，常常将复杂问题转化为简单问题，将陌生问题转化为熟悉问题来处理.例如求一个负数的立方根，可以转化为求一个正数的立方根的相反数.另外，在实数的近似运算中，可根据问题的需要取近似值，转化为有理数来计算，所以本单元很多知识都渗透和运用了转化思想.

3. 分类思想.在本章中分类思想主要体现在对实数的分类上.一种是按定义分类，一种是按数的性质分类，值得注意的是，实数的分类还有其他方法，而每种分类方法各有所长.又如在研究平方根、立方根的性质时，把数按正数、负数、0分类.分类有不同方法，但必须按同一标准分类，做到不重不漏.

4. 数形结合思想.实数与数轴上的点构成一一对应关系，利用数轴比较实数的大小等都体现了数形结合思想.

五、典型例题导析

1. 考查平方根与立方根概念.

例1（1）（2007年•济南市）4的平方根是（）.

（2）（2007年•南京市） 的算术平方根是（）.

（3）（2007年•遵义市）8的立方根是.

（4）（2007年•安顺市） 的平方根是.

（5）（2007年•资阳市）如果某数的一个平方根是 - 6，那么这个数为

.

解析：根据平方根、算术平方根与立方根概念直接求解.（1）C（2）B（3）2

（4）本题要注意认真审题．= 4，4的平方根是 ± 2，所以 的平方根是 ± 2.

（5）根据开平方与平方互为逆运算求解，这个数是（ - 6）2 =36.

评注：解决此类问题关键是抓住概念：正数a 的平方根有两个，用符号可表示为 ±，它们互为相反数，其中正的平方根叫做a的算术平方根，记为 .任何数有且只有一个立方根.

2. 考查无理数识别.

例2 （1）（2007年•常州市）在下列实数中，无理数是（）.

（2）（2007年•佛山市）下列说法正确的是（）.

A． 无限小数是无理数

B． 不循环小数是无理数

C． 无理数的相反数还是无理数

D． 两个无理数的和还是无理数

解析：正确理解无理数的意义是解本题的关键，无限不循环小数才是无理数.（1）B（2）C

评注：解这类题的关键是正确理解无理数的意义，在具体判断时，不能只看形式，应从它们的本质来把握.

3. 考查非负数的性质.

例3（2007年•济宁市）已知+ |b - 1| = 0，那么（a + b）2 007的值为（）.

A. - 1 B. 1

C. 32 007 D. - 32 007

解析：一个数的算术平方根与绝对值都是非负数，它们的和为0，则每个数必为0.由题意，可列出方程组a + 2 = 0，b - 1 = 0.则a =- 2，b = 1，（a + b）2 007 =（- 2 + 1）2 007 = - 1.故应选A.

评注：本题主要考查非负数的性质及其应用，在中学阶段，非负数主要有三个：实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方.它有一个非常重要的性质，即若干个非负数的和为0，这几个非负数均为0.利用这个性质可解本题.

4. 考查实数的运算.

例4（1）（2007年•黄冈市）计算： - （ - 2） =；| -| =； - 1 =

.

（2）（2007年•济南市）计算 的结果为（）.

解析：（1） - （ - 2） = 2；| -| =； - 1 =.

评注：实数的相反数、绝对值、幂的法则都与有理数的相应概念和法则相同，有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.

5. 考查实数大小的比较.

例5（2007年•河北省）比较大小：7（填“＞”、“＝”或“＜”） ．

解析：> = 7，故7 <.

评注：比较两个实数的大小和比较两个有理数的大小一样，方法较多，对于不同形式表示的实数，要灵活选用比较大小的方法，如取近似值法、比较平方法、放缩法等.

6. 考查估值.

例6（2007年•盐城市）估计的值（）.

Ａ． 在3和4之间

Ｂ． 在4和5之间

Ｃ． 在5和6之间

Ｄ． 在6和7之间

解析：本题主要考查估算能力，体现了课标要求中的“能用有理数估计一个无理数的大致范围”，由于52 < （ ）2 < 62，所以5< < 6，即在5和6之间.故应选C.

评注：对无理数作近似估算是新课标所要求的，同学们必须掌握“估算法”这种解题方法，以便对具体的实际问题能及时作出处理.

7. 考查数形结合.

例7（1）（2007年•大连市旅顺口区）如图1，在数轴上， 两点之间表示整数的点有个.

（2）（2007年•江西省）在数轴上与表示 的点的距离最近的整数点所表示的数是．

解析：（1）A、B两点对应的数分别是 -和 ，而 - 2＜ - < - 1，2 ＜ ＜ 3，所以 -和 之间的整数有 - 1，0，1，2四个.

（2）由于 的值约为1.732，所以在数轴上与表示 的点的距离最近的整数点所表示的数是2.

评注：本题是一道和实数有关的数形结合型试题.每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的.它所反映的是数学上重要的“数形结合”思想.

8. 考查规律探索.

例8（2007年•大连市）观察下列各式：

= 12 + 3 × 1 + 1， = 22 + 3 × 2 + 1，= 32 + 3 × 3 + 1， ……

猜想：= .

解析：本题是一道和实数有关的规律探索题.观察可知

= 2 0052 + 3 × 2 005 + 1.

评注：规律探索题的解题关键是从阅读材料中得到正确的信息，再通过分析、归纳、探究等方法来解决问题.L

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”