等腰三角形中的角与周长

徐小芬

等腰三角形是三角形大家族中一个特殊而又重要的成员，也是中考中的重要考点之一.下面以中考题为例,说明有关的角与周长的计算.

例1（2007年•陕西）如图1所示，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E.连接EC，则∠AEC的大小是_____．

解析：因为BE平分∠ABC，所以∠EBC=1/2∠ABC=25°.又AD垂直平分BC，所以EB=EC，所以∠C=∠EBC=25°.所以∠AEC=∠EDC+∠C=90°+25°=115°.

点评：本题综合考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.若连接AC，易知△ABC为等腰三角形.∠AEC=∠AEB，在△ABE中也可算出结果.

例2（2007年•岳阳）已知△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A=_____.

解析：略.

例3（2007年•宁波）如图2，在△ABC中，AB=AC.CD平分∠ACB交AB于D点.AE∥DC交BC的延长线于点E.已知∠E=36°，则∠B=_____．

解析：因为AE∥DC，所以∠DCB=∠E=36°.因为CD平分∠ACB，所以∠ACB=2∠DCB=72°.又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB=72°.

点评：△ACE也是一个等腰三角形.角平分线与平行线结合，往往出现等腰三角形.

例4（2007年•江西）如图3，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°.AB=AD=DC.则∠C=_____．

解析：因为AB=AD，∠BAD=80°，所以∠ADB=∠B=1/2（180°-80°）=50°.又因为AD=DC，所以∠C=∠CAD=1/2∠ADB=25°.

点评：本题综合考查了等腰三角形底角相等的性质以及三角形外角的性质.要注意等腰三角形的外角α与不相邻的内角β间的关系：α=2β或α+β=180°或180°+β=2α.它们可以互相表示.

例5（2006年•武汉）如图4，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D.若AC=6，BC=4，求△BCF的周长.

解析：因为DE垂直平分AB，所以FA=FB，所以△BCF的周长=BC+AC=4+6=10.

点评：本题利用线段垂直平分线的性质将△BCF的周长转化为BC+AC.这种转化技巧常常用到.

例6（2007年•安顺）如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为_____．

解析：因为已知的两边长没有确定是腰长还是底边长，故需分两种情况求解：当4为腰长时，第三边长为4，周长为4+4+7=15；当4为底边长时，第三边长为7，周长为4+7+7=18.综上可知，三角形的周长为15或18.

点评：在解答有关等腰三角形的边、角的问题时，几乎都要涉及分类讨论，所以一定要思考全面，小心谨慎！