奇妙的完全数

韩雪涛

在遥远的古希腊有一个著名的数学学派——毕达哥拉斯学派.这一学派对数的性质异常感兴趣.他们发现，有些大于0的自然数的所有真因数（即那些可以整除该自然数的自然数,但不包括该自然数本身）之和比它们本身要大，如12的真因数有1、2、3、4、6，其和是16.另有一些自然数,它们的所有真因数之和比它们本身要小，如4的真因数有1、2，其和是3.那么，有没有所有真因数之和恰好等于它本身的数呢？有！他们把这样的数叫做完全数（也叫完美数）.这一学派的创始人毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其所有真因数之和等于6.”这意味着他已经发现了最小的完全数6.下一个完全数是28，这也是这个学派所发现的.

接下来的两个完全数，是毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的．他在其《数论》一书中有如下一段话：“第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴上，接近10 000，是8 128.它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且都是偶数.”

对于数学家来说，完全数的性质才是更为重要的.

公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中给出并证明了一个漂亮的结论：如果2ⁿ － 1是一个素数（即质数），那么自然数2^n-1（2ⁿ － 1） 一定是完全数.2ⁿ－ 1 型的素数？这不就是梅森素数吗？正是.因此，我们可以说，只要能找到一个梅森素数，根据欧几里得的结论，我们马上就可以得到一个完全数.容易看出，通过欧几里得的结论得到的完全数都是偶数，于是一个非常自然的疑问产生了：是否每个偶完全数都具有欧几里得给出的形式呢？欧几里得之后2 000多年，18世纪的伟大数学家欧拉给了上述疑问一个明确的答复：如果一个数是偶完全数，则它一定可以表示成 2^n-1（2ⁿ－ 1），其中 2ⁿ－ 1 是素数.于是，经过欧几里得与欧拉这两位数学家的强强联手，偶完全数的本质被解开了.

然而，完全数在自然数中是非常稀少的.现在，人们找到的完全数只有44个（与找到的44个梅森素数相对应，也包括6、28等），而且全都是偶完全数.那么，有没有奇完全数呢？没人知道.实际上，“奇完全数是否存在”这个问题目前仍是数学中的一大未解之谜呢！