相交线与平行线中的数学思想

郑坤苓

同学们，在“相交线与平行线”这一章里，包含着很多数学思想方法，大家注意到了吗？下面我们就来归纳一下.

1. 方程思想

几何中常有一些求线段的长度或求角的大小的问题，对于这一类问题，我们可以借助题中的已知量与未知量之间的关系，想办法建立方程进行求解.

例1如图1，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B=2 ∶3 ∶ 4，求∠α、∠D、∠B的大小.

[分析：]由已知∠α ∶ ∠D ∶ ∠B=2 ∶ 3 ∶ 4，可以分别设∠α、∠D、∠B为2x°、3x°、4x°，再利用已知条件列出方程进行求解.

解： 设∠α=2x°，∠D=3x°，∠B=4x°.

因为 FC∥AB∥DE，所以 ∠2+∠B=180°，∠1+∠D=180°.从而有∠2=180°-∠B=180°-4x°，∠1=180°-∠D=180°-3x°.

又因为∠1+∠2+∠α=180°，所以有

（180-3x）+（180-4x）+2x=180.

解得x=36.

所以∠α=2x°=72°，∠D=3x°=108°，∠B=4x°=144°.

[评注：]解决这类问题，不仅要熟悉图形的性质，还要善于进行等量代换，把未知量和已知量逐步联系起来.当解决问题的过程比较复杂时，思路要清晰，语言表达要严密.

2. 转化思想

在几何推理中，已知条件和要求的结论之间常常需要转化.转化条件、转化问题是常用的推理形式，必要时还要添加辅助线进行转化.

例2如图2，BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，ED∥BC.试判断∠1与∠2的关系，并说明理由.

[分析：]观察图形，我们不能迅速找到∠1和∠2的关系，但由BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，可得BD∥FG，则∠2=∠3.由ED∥BC，可得∠1=∠3.∠1和∠2都与∠3有关，我们可以借助∠3进行转化.

解： 因为BD⊥AC，FG⊥AC，所以∠BDC=∠FGC=90°.故BD∥FG，从而可知∠2=∠3.

因为ED∥BC，所以∠1=∠3.

故∠1=∠2.

[评注：]这道题涉及“相交线与平行线”这一章中的重要知识点，大家要能灵活运用平行线的性质、判定定理.要看准“三线八角”，分清平行线的判定与性质，并能通过图形将条件灵活转化.

例3如图3，一条公路GA修到湖边时，要拐弯绕湖而过.第一次拐弯形成的角是∠A，且∠A=120°；第二次拐弯形成的角是∠ABC，且∠ABC=150°；第三次拐弯形成的角是∠C，这时的道路CD恰好和第一次拐弯之前的道路GA平行.你知道∠C是多少度吗？

[分析：]解答此题需要借助辅助线把这三个角联系起来.既然题目中有平行关系，那么我们就要想办法把平行线和角联系起来.

解： 如图3，过点B作EF∥GA，则∠1=∠A=120°.

因为∠ABC=150°，所以∠2=∠ABC-∠1=150°-120°=30°.

因为GA∥CD，EF∥GA，所以EF∥CD.

故∠2+∠C=180°.

从而可得∠C=180°-∠2=180°-30°=150°.

[评注：]在解题的过程中，有时仅利用现有条件不容易得出结果，这时我们就要巧妙添加辅助线，将问题与条件进行转化.

3. 分类讨论思想

在几何题中，有些题目未给出图形，这时我们就要结合题意画出图形，再解决问题.这一过程常具有多样性，我们需要分类讨论.

例4在∠ABC和∠DEF中，DE∥AB，EF∥BC，请你尝试探索∠ABC和∠DEF的关系.

[分析：]这道题的图形有很多种不同的画法，但题中的两个角的关系只有两种，如图4（1）和图4（2）.

解： 如图4，有两种不同的情况.

在图4（1）中，因为DE∥AB，EF∥BC，所以∠ABC=∠1，∠1=∠DEF.故∠ABC=∠DEF.

在图4（2）中，因为DE∥AB，所以∠ABC+∠1=180°.又因为EF∥BC，所以∠1=∠DEF.故∠ABC+∠DEF=180°.

[评注：]题中没有给出图形，我们画图时要考虑可能存在的所有情况，以免漏解.

【责任编辑：潘彦坤】

十亿分之一秒——在计算机上测量时间

一个电脉冲在十亿分之一秒里行进了8 英寸．光在十亿分之一秒里掠过了一英尺．今天的计算机每秒钟能运算百万次．

让我们感受一下一台大型计算机能够以多快的速度进行工作，假定我们考虑的时间为半秒．在半秒时间内计算机能够执行以下任务：

（1）将200 张支票录入300 个不同的银行账目中；

（2）检查100 个病人的心电图；

（3）对3 000 张试卷150 000 个答案进行评分，并正确评价每个问题；

（4）为一个公司的1 000 名员工计算工资；

（5）还有多余的时间可做其他工作．