我的新“发现”

陈　聪

在刚学等腰三角形时，老师总是强调等腰三角形的性质与判定非常重要，开始你可能还不以为然，当你拿起笔来做题时，就会发现你的解题速度慢了许多.陈聪同学就遇到了这个问题，可是，他在老师的“只要肯动脑，及时总结，相信你一定能行”的语言的鼓舞下，在同学们相互交流中，他渐渐地发现了一些判定等腰三角形的“小窍门”，一试还挺管用呢，大家一起来看看吧.

窍门1：角平分线+垂直=等腰三角形

例1如图1，在△ABC中，AD为角平分线，且AD⊥BC，垂足为D，试猜想BC与BD有什么数量关系，并说明理由.

思路分析：由题意可知，AD既为∠BAC的平分线，又是BC边上的中线，很像等腰三角形中的“三线合一”性质，故只要能证明△ABC为等腰三角形，便可猜想结论，已知两角及夹边（公共边）相等，故可用“角边角”证△ADB≌△ADC.

解：BC=2BD，理由如下：

∵AD为角平分线，

∴∠BAD=∠CAD.

∵AD⊥BC，

∴∠BDA=∠CDA=90°.

∵在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD，

AD=AD，

∠BDA=∠CDA，

∴△ABD≌△ACD（ASA）.

∴AB=AC.

∵AD⊥BC，

∴BD=CD.

即BC=2BD.

教师点评：当三角形中一线既为一角的平分线，又是一边上的垂线时，由全等易证此三角形为等腰三角形，然后得出结论.当然此题也可由两个三角形全等直接得到结论.

窍门2：角平分线+平行=等腰三角形

例2如图2，△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：DE=BD+EC.

思路分析：要证DE=DB+EC，而DE=DF+EF（即要证DF+EF=BD+EC），只要证DF=BD，EF=CE，故转化为证△BDF和△CEF为等腰三角形.由“两直线平行，内错角相等”易证同一三角形中的两角相等.

证明：∵BF为∠ABC的平分线，

∴∠DBF=∠CBF.

∵DE∥BC，

∴∠DFB=∠CBF.

∴∠DBF=∠DFB.

∴BD=FD.

同理EC=EF.

∴BD+EC=FD+EF.

即BD+EC=DE.

教师点评：若过角平分线上的一点作一边的平行线，与另一边相交，则构成的三角形为等腰三角形.

窍门3：垂直+线段平分=等腰三角形

例3如图3，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF⊥AD，AE=DE，求证：∠B=∠FAC.

思路分析：要证∠B=∠CAF，已知∠BAD=∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，因而只要证∠FAD=∠FDA，故只需证△FAD为等腰三角形.由EF⊥AD，AE=DE，根据线段垂直平分线的性质易得FA=FD.

证明：∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD.

∵EF⊥AD，AE=DE，

∴FA=FD.

∴∠FAD=∠FDA.

又∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，

∴∠B=∠FAC.

教师点评：若三角形一边上的垂线同时平分这条边（即为一边的垂直平分线），由线段垂直平分线的性质易证此三角形为等腰三角形.