勾股定理史话

田载今

教科书第十八章《勾股定理》中，除了包括勾股定理及其逆定理的知识内容外，还介绍了关于这些内容的一些历史资料，体现了浓重的数学文化气息.

古代中国人把直角三角形较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.由于勾和股两者的长确定后，弦的长也随之确定，所以人们把反映勾、股、弦长度之间的数量关系的一个命题称为勾股定理.这个定理的叙述形式并不复杂，即“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”，寥寥二十余个汉字就表达了它；又可以用数学式子的形式表达为：“若直角三角形的两条直角边的长分别为a、b，斜边的长为c，则a2+b2=c2.” 勾股定理在数学中具有重要的地位，它揭示了直角三角形的三边之间的一种特有规律.人们对它的发现和研究可以追溯到远古的年代.

[一][勾股定理的发现有悠久的历史]

公元前约2 000年的巴比伦人对数学的发展有重要贡献.从考古学家发现的大约公元前15世纪的楔形文字，数学家推断当时的巴比伦人已经知道了勾股定理所揭示的内容.

中国人对勾股定理的发现也位居世界前列.中国古代数学著作《周髀算经》中记载，周公问商高有关测量的问题，商高的回答中提到，作一个边长分别为3，4，5的三角形，就可以画出直角，并提到大禹治水时就曾用这种方法进行测量.虽然“勾三股四弦五”所说的只是一种特殊的直角三角形，但是商高所说内容毕竟是涉及勾股定理的最早记载之一.

《周髀算经》中还有另一涉及勾股定理的记载“陈子测日”，说的是一个叫陈子的人，他曾利用测量杆子及其影子的方法计算太阳与测量者的距离.陈子计算直角三角形的斜边时，所用方法是“勾股各自乘，并而开方除之”.用现在的语言说，即“两条直角边各自平方，相加后再开平方”.可见他已认识到了一般直角三角形中三边之间的数量关系，并能熟练地运用它解决问题.“陈子测日”比商高的话更进一步反映了勾股定理的本质.

公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯发现了直角三角形中三边之间的数量关系，相传他是观察地板砖时受到启发的，教科书中对此有所介绍.西方人称勾股定理为毕达哥拉斯定理.有数学史学者说，毕达哥拉斯年轻时曾在巴比伦学习，还可能到过印度，而巴比伦人早已知道直角三角形中三边之间的数量关系.中国人在毕达哥拉斯之前也已知道它并可能将其传至印度，所以毕达哥拉斯的发现有可能与前人的研究有关.但是这种猜测有待进一步考证.

[二][勾股定理的证明有多种方法]

公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在前人研究成果的基础上，编写了一部非常重要的数学著作《几何原本》.在这部书中，欧几里得给出了如下的勾股定理证法.

如图1，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作三个正方形AGFB，BDEC，CKHA.连接AD，CF，作AL⊥DE于L，交BC于M.正方形AGFB的面积=2×△FBA的面积=2×△FBC的面积，长方形BDLM的面积=2×△MBD的面积=2×△ABD的面积，而△FBC≌△ABD（SAS），所以正方形AGFB的面积=长方形BDLM的面积.类似地可证，正方形CKHA的面积=长方形MLEC的面积.因此，正方形BDEC的面积=长方形BDLM的面积＋长方形MLEC的面积=正方形AGFB的面积＋正方形CKHA的面积，即BC2=AB2+AC2.

勾股定理引起许多人的兴趣，大家给出了很多种证明方法，甚至连身居高位的政治家也对它着迷.图2是美国第20任总统加菲尔德给出的一种证法.他以边长分别为a、b、c的Rt△ABC为基础，构造了梯形ACDE.这个梯形的面积等于图中三个三角形面积的和，即（a+b）2=2×ab+c2.于是，得a2+b2=c2.

据统计，人们对勾股定理前前后后给出了400多种证法，这使得勾股定理成为证法最多的一个定理.

[三][勾股定理的地位非常重要]

勾股定理是一个非常重要的定理.它的影响不仅是在平面几何方面，而且深入到数学的其他分支.在今后的学习中，你会感受到勾股定理非常有用.下面给出几个这方面的例子.

三角函数是一类重要的函数，对它的研究也与勾股定理有密切联系.

在Rt△ABC中，∠C是直角，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦函数，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦函数.由勾股定理可以推出这两个函数的平方和

2+

2===1，于是得到同一个锐角的正弦函数和余弦函数之间的一种重要关系，即它们的平方和总是常数1.类似地，对于任意角（不限于锐角）的正弦函数和余弦函数，利用勾股定理也能得到同样结论.在这种关系的基础上，又可以进一步得到更多的三角函数公式.

解析几何是通过坐标方法来研究几何图形的一个数学分支.两点间的距离公式是解析几何的基础知识，对它的推导是勾股定理的又一应用.

如图3，设平面直角坐标系中有P（x1，y1）和Q（x2，y2）两点，则由勾股定理可知线段PQ的长为，于是得到平面上两点的距离公式PQ=.

如图4，在以O（0，0）为圆心，r为半径的圆上，任意一点P（x，y）到原点的距离都等于r，于是有=r，即x2+y2=r2.这就是解析几何中关于这个圆的方程.显然，它也是以勾股定理为基础得出的.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。