例析与勾股定理有关的数学思想

作者简介 周启东，江苏省扬州市汤汪中学八年级数学备课组组长、数学教研组组长.教学成绩一直处在全区的前列，近年来曾获得扬州市广陵区“教学创新能手”称号，广陵区“育花奖”赛课一等奖，扬州市“教学创新能手”称号，扬州市“中青年教学骨干”称号.多年来一直参与江苏省规划重点课题的研究.发表文章200多篇.主编教辅书10多部，参编10多部.

数学思想是解数学题的“灵魂”.总结、概括数学思想，有利于透彻地理解所学知识，提高分析问题和解决问题的能力. 现把《勾股定理》这一章中的数学思想总结如下.

[一、分类讨论的思想]

例1在△ABC中，AB=6，BC=10.要使这个三角形是直角三角形，则AC的长是多少？

分析：要使△ABC是直角三角形，它的三边就要满足勾股定理的逆定理.很多同学容易联想到勾股数6、8、10，认为要求的AC是直角边，AC=8，从而造成漏解.本题应该就AC边是直角边还是斜边分两种情况讨论.

解：设AC=x.因为要使△ABC是直角三角形，所以AB、BC、AC这三条边应当满足AC2=AB2+BC2或BC2=AB2+AC2，即x2=62+102或102=62+x2.因为x为正数，所以可得x=2或x=8.故AC的长为2或8.

点拨：要使一个三角形是直角三角形，那么三边的长一定满足较短两边的平方和等于最长边的平方.如果所求的边没有交待清楚是直角边还是斜边，它就有可能是最长边，也有可能不是最长边.这提醒我们，平时做题时应当养成认真审题、一丝不苟的好习惯，注意分类讨论.

[二、方程的思想]

例2如图1，有一张直角三角形纸片ABC，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm.将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）.

A.cm B.cm C.cm D.cm

分析：这是一个和折纸有关的问题.在思考过程中，可以先动手做一做，体验一下图形的变化规律，然后再寻找题中相关线段之间的数量关系.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式.求线段的长时，可由此“等式”列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题．

解：由折叠过程可以得到AD=BD.设CD=x cm，则AD=（8-x） cm.在Rt△ACD中，根据勾股定理，得到AD2=AC2+CD2，即（8-x）2=62+x2，解得x=.因此，应选择C.

点拨：在近年的中考中，这类折叠问题呈现的方式常常都很活泼、亲切.在解决问题的过程中，同学们完全可以现场实际操作、体验，充分感知探索的乐趣.不过，解题的关键还是要抓住题目中各线段之间的相互关系，利用勾股定理并结合方程的思想进行正确的求解.折叠过程一般都会出现一些相等的线段和相等的角，适当地标注这些关系有利于解题.同学们在平时的学习过程中，应当充分利用训练的机会，多探究.

[三、数形结合的思想]

例3如图2，在由单位正方形组成的网格中，标有AB、CD、EF、GH四条线段.其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）.

A. CD、EF、GHB. AB、EF、GH

C. AB、CD、GHD. AB、CD、EF

分析：根据勾股定理，可以分别求出四条线段AB、CD、EF、GH 的长度，从而把形的问题转化为数的问题.再分别选取其中的3个长度，用勾股定理的逆定理来判断它们能否构成一个直角三角形，最终把数又转化为形.

解：单位正方形的边长为1.根据勾股定理，可以得到：AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13.

因为AB2+EF2=8+5=13=GH2，所以AB、EF、GH这三条线段能构成直角三角形.因此，答案选B.

点拨：勾股定理及其逆定理把三角形中的“形”的特征（有直角）与三边长“数”的关系互相转化，是数形结合的一个典范．在近几年各地的数学中考试题中，出现了大量的以网格图为背景的问题.这些问题既有线段的简单计算，也有比较复杂的图形性质的探究.在解决这类问题时，同学们首先应当认真审题，计算出每条线段的长，如有可能，把它们按由小到大的顺序排列起来，以便进行判断.

[四、整体的思想]

例4如图3，在直线l同侧依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=．

分析：本题不可能分别求出S1、S2、S3、S4，但我们可以利用三角形全等和勾股定理的知识分别求出S1+S2、S2+S3、S3+S4，从而利用整体的思想来求出答案.

解：根据题设条件可以证明Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），故AB=CD.

因CD2+DE2=CE2，而AB2=S3，AB=CD，CE2=3，DE2=S4，故S3+S4=3.同理S1+S2=1，S2+S3=2.所以S1+S2+S3+S4=1+3=4.

点拨：化零为整，化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法.不少数学题中，每个未知量我们不一定都能求出来，但这些未知量的和或差等我们却可以求出.

[五、类比的思想]

例5如图4，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 ．

（1） 如图5，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）

（2） 如图6，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明．

分析：（1）利用勾股定理容易得解，（2）中需要求出等边三角形的面积，再利用勾股定理得出结论.

解：设Rt△ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2 ．

（1）S1=S2+S3 ．

（2）显然，由等边三角形面积公式有S1=c2，S2=a2， S3=b2，故S2+S3=（a2+b2）=c2=S1 ．

点拨：本题从特殊到一般，从已知到未知，运用类比进行探究，其关键就在于理解勾股定理．当然，后面学习了相似三角形的知识后，还可以继续探究：分别以Rt△ABC三边为边向外作三个一般的相似三角形，上述结论是否还成立呢？与直角三角形相“连接”的图形的面积间一般都存在数量关系，上面的例4也说明了这点.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。