共角定理

张景中　彭翕成

在三角形中，角与边总是相对的.那么，既然有共边定理，是否存在共角定理呢？答案是肯定的！我们先来看一个常见的题目.

例1如图1，P、Q分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=3AP，AC=4AQ．求△APQ和△ABC的面积之比.

解：连接CP，则==，==，则=·=·=.

探究例1的本质，我们发现△ABC和△APQ有公共角∠A，而且题目所牵涉到的“线段”都是在∠A的两边，而不是在BC或PQ上.而例1的解答，则是通过作辅助线，将两个共角的三角形转化为共边的三角形.把这个例子推广到一般的情形，就是共角定理.

共角定理：△ABC和△XYZ中，若∠ABC和∠XYZ相等或互补，则有=.

形象地说，共角定理就是指，两个三角形，若有一个角相等（或互补），则这两个三角形的面积之比就等于（夹这个角的）各自两边之积的比.

证明：如图2、图3，仿照例1的证明，=·=·=.

我们以前说过，一个定理重要与否，要看它解决问题的多少，也要看它应用范围的大小.一般来说，应用范围较小的命题是不能称之为定理的.下面，我们就来看一看共角定理的威力到底有多大.

例2（角平分线定理）如图4，在△ABC中，已知AD是∠BAC的角平分线.求证：=.

证明：=[共角定理][=]=.

例3（三角形中位线定理）如图5所示，在△ABC中，AB的中点为M，过M作BC的平行线与边AC交于N.求证：=.

证明：由MN∥BC可知∠ANM=∠C.由共角定理可得

=[∠ANM=∠C][=]，

再由=，约去，可得=.

例4如图6，已知△ABC和△XYZ中，∠A=∠X，∠B=∠Y.求证：==.

证明：由题意可知∠C=∠Z.由共角定理可得===.各项同乘以，可得==.

例5如图7，点D、E、F分别为△ABC三边上的点，且===.求证：=1-.

证明：[∠A为公共角][=]=·=.同理，=，=.所以==1-.

例6如图8，点E、F、G、H分别为四边形ABCD各边上的点，且====.求证：=1-.

证明：由共角定理，==·=.同理=，=，=.所以

==1-.①

而S△AFE=S△ABD，S△BGF=S△BCA，S△CGH=S△CBD，S△DEH=S△DAC，故S△AFE+S△BGF+S△CGH+S△DEH=（S△ABD+S△BCA+S△CBD+S△DAC）=·2S四边形ABCD.

代入①有=1-.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。