一元一次不等式组学习指导

罗全民

我们已经学过一元一次不等式，知道一元一次不等式表示不等关系.那么为什么会出现一元一次不等式组呢？我们先看看下面这道题.

【题目】已知一个三角形的两边长分别为3 cm、7 cm，则其第三边的长要满足什么条件？

[解析：]设第三边的长为x cm.根据“三角形中两边之和大于第三边”可知，应有x<3+7，即x<10.但是我们还知道“三角形中两边之差小于第三边”，应有x>7-3，即x>4.

三角形中的三边应同时满足上述两个条件，由此可得 x<10，

x>4.

由上面的题目我们可以看出，有些情况下限定条件有两个或两个以上，需要用两个或两个以上的不等式表示，因此就出现了一元一次不等式组.

学习一元一次不等式组，首先要学好一元一次不等式，在此基础上理解并掌握一元一次不等式组的概念、解法、解集以及解集在数轴上的表示方法．

一、一元一次不等式组的概念

关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就是一个一元一次不等式组．如x+3<0，

-5>x，x>3，

x<5，

x>-1等都是一元一次不等式组．

二、一元一次不等式组的解集

一元一次不等式组中所有不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集．例如在不等式组x>-2，

x<1中，比-2大的数都是x>-2的解，而比1小的数都是x<1的解，其公共部分是-2

三、一元一次不等式组的解法

解一元一次不等式组的过程分为两步：第一步，求出这个不等式组中所有不等式的解集；第二步，确定出这些不等式的解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．

具体来说可分为下面两种方法．

1． 数轴法

利用数轴确定一元一次不等式组的解集时，首先要将不等式组中每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.如果没有公共部分，则不等式组无解．

例1 解不等式组3x-1≥2（x-1），①

2（x+1）>4（x-1）. ②

[解析：]由①，得x≥-1.

由②，得x<3.

在数轴上表示不等式①和②的解集，如图1，所以不等式组的解集为-1≤x<3．

2. 口诀法

由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集一般有4种类型（有“≥”和“≤”的情况与此类似）.

（1）a>b，x>a，

x>b，简称“同大”型，其解集是x>a，简记为“同大取大”．

（2）a>b，x

x

（3）a>b，x

x>b，简称“小大大小”型，其解集是 b

（4）a>b，x>a，

x

利用以上口诀，可以快速准确地确定不等式组的解集．

例2 解不等式组2x+3≤5，

3x-2>4.

[解析：]原不等式组经过整理、化简，得x≤1，

x>2.

由“大大小小无解”可知，此不等式组无解．

四、应注意的几个问题

1． 教材中只研究由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，实际上，由三个或更多的一元一次不等式组合起来，都能组成一元一次不等式组．

2． 用两个同向的不等号表示的不等式，也可以变成不等式组．如2≤3x-7<8所表示的不等式组为3x-7≥2，

3x-7<8.

3． 在数轴上表示不等式组的解集时，应注意找准分界点，有“等于”是实心点，无“等于”是空心点，“小于”向左拐，“大于”向右拐．

例3 将不等式组x>-2，

x≤1的解集表示在数轴上，下列各项表示正确的是（）.

[解析：]x>-2的解集在数轴上的分界点是-2，无“等于”是空心点，“大于”向右拐；x≤1的解集在数轴上的分界点是1，有“等于”是实心点，“小于”向左拐.故选D．

【责任编辑：潘彦坤】

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