有效利用三角形的高

樊雨生

在“三角形”这一章里我们认识了三角形的高线，你是否注意到了它的独特性呢？我们来总结一下三角形高线的用法.

1. 利用高线与边垂直的性质求角度

三角形的高线与三角形的边可以构成直角三角形，直角三角形的出现为角度的转换与计算提供了便利.

例1已知△ABC的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数．

[思考与分析]由于AD为BC边上的高，过点A作BC边的垂线时，垂足D可能落在边BC上，也可能落在 边BC的延长线上.因此，我们需要分情况讨论．

解：（1）当垂足D落在边BC上时的情形如图1.

因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.

（2）当垂足D落在边BC的延长线上时的情形如图2.

因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．

所以∠BAC为90°或50°．

【小结】 三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形三类，题目所给条件中如果没有明确说明三角形的具体类型，我们就要分类讨论，以防遗漏.

2. 利用三角形的面积公式求线段的长度

例2如图3，在△ABC中，AD、CE是两条高，BC=5 cm，AD=3 cm，CE=4 cm，你能求出AB的长吗？

[思考与分析]由于三角形的面积等于底与对应高乘积的一半，因此三角形的面积就有三种不同的表达方式.若设△ABC的三边长分别为a、b、c，对应边上的高分别为h1、h2、h3，那么三角形的面积S=ah1=bh2=ch3.本题可利用S△ABC=BC·AD=AB·CE解答.

解：S△ABC=BC·AD=AB·CE.

所以5 × 3=AB × 4.解得AB=（cm）．

【小结】用同一个三角形的不同的面积表达式建立等式求三角形中线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用．

例3如图4，在△ABC中，AB=AC，AC边上的高BH=10 cm，D为边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求DE+DF.

[思考与分析]BH、DE、DF均为相应线段的垂线段，AB=AC，可把垂线段作为相应三角形的高.连接AD，则DE、DF、BH分别为△ABD、△ADC、△ABC的高，可用三角形的面积转换它们的关系.

解：连接AD.因为S△ABD=AB·DE，S△ADC=AC·DF，S△ABC=AC·BH，S△ABD+ S△ADC= S△ABC，所以AB·DE+AC·DF=AC·BH.

所以AB·DE+AC·DF=AC·BH.

又因为AB=AC，BH=10 cm，所以DE+DF=BH=10 cm.

【小结】点D在BC上任意运动时（不与点B、点C重合），结论DE+DF=BH总成立.