考查圆——小题向综合题的转化

2007年，如北京、广东等17个省市的高考试题（文、理科共有14套试卷）中，在综合题中对圆的有关知识内容进行了不同程度的考查.同2005年、2006年相比，明显地加大了在综合题中对圆的内容的考查力度.对圆的内容的考查，明显体现出从小题向综合题转化的趋势，具体体现在以下三个方面：

1 直接考查求圆的方程

考试说明中对圆的方程内容的考查，要求“掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程”.而圆的一般方程是以二元二次方程的形式体现，主要适用于代数运算方面.“掌握确定圆的几何要素”，也就是确定圆心和半径.圆的标准方程反映出圆的几何特征——圆心和半径，从而更容易写出圆的标准方程，所以在考题中多数都是通过题设条件求出圆心和半径的方法来求得圆的方程.如2007年北京卷（文科（19）、理科（17））题

矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1,1)在AD边所在直线上.

（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；

（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；

（Ⅲ）若动圆P过点N(-2,0)，与矩形ABCD的外接圆外切，求圆P的圆心轨迹方程.

根据题设条件，分析矩形图形的有关性质，通过解两直线方程组成的方程组求得圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出半径，从而得出“矩形ABCD的外接圆”的标准方程.此题的前两小问，将平面几何中的一个重要而基本的图形——矩形与圆结合起来，难度不大，但考查到的基础知识却不少.

类似地，如辽宁卷（文（21）、理（22））第1小问：“已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是△OAB的外接圆（点C为圆心）（Ⅰ）求圆的方程”.通过求出在抛物线上“以原点O为顶点的正三角形”的另外两个对称顶点的坐标，再结合正三角形外接圆的性质，求出三角形外接圆的圆心和半径，最后由标准方程形式写出所要求的圆的方程.比较北京和辽宁卷两道解析几何综合题，一道题是求矩形外接圆的方程，另一道是求正三角形外接圆的方程，可谓是“形似且神似”般地“不谋而合”.

我们不妨再将全国卷Ⅱ（文（21）、理（22））和广东卷（文（19）、理（18））拿出来比较一下：

（全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.

（1）求圆O的方程；（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA·PB的取值范围.

（广东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆x2a2+y29=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.

（1）求圆C的方程；

（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

以上两道考题中的第1小问，虽然都是以求圆的方程为目标且解题方法完全相同，但题设却“似而不同”：全国卷Ⅱ是在已知圆心的条件下，通过直线与圆相切求半径写出圆的方程，广东卷则是在已知半径的条件下，通过“直线与圆相切于原点”求圆心坐标后写出圆的方程.而安徽理科卷（19）题题设中，直接给出“以原点为圆心，以t（t>0）为半径”，要求考生能写出圆的方程并加以运用.因此，对于求圆的方程的考题，基本上都落在“确定圆的几何特征——圆心和半径”上，这也正符合高考考试说明的要求.

2 考查圆的性质、直线与圆以及圆与圆的位置关系

对于圆的内容，考试说明还要求：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能用直线和圆的方程解决一些简单问题.07年各地高考题中，有13个省市的解析几何综合题对此进行了考查.如海南、宁夏卷（文科）、湖北卷（文、理）：

（海南、宁夏卷文（21））在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.

（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量OA+OB与PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.

湖北卷（理（19）、文（21））如图，在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点.

（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由（此题不要求在答题卡上画图）.

海南、宁夏卷第1小问除了考查圆的概念（已知圆的方程求圆心和半径）外，还通过直线与圆相交来考查一元二次方程的有关知识，湖北卷则考查直线与圆相交构成的相交弦弦长问题.

类似地，山东卷（理（21）、文（22））第2小问中，因为题设条件“以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D”，故AD⊥BDDA·DB=0进而转化为坐标运算（也可用求圆的方程的方法求解）来考查圆的性质（直径所对的圆周角为直角）.北京卷第3小问（（Ⅲ）若动圆P过点N（-2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程.）和辽宁卷第2小问都从不同角度对两圆位置关系进行了不同层次的考查.

3 新课标地区对圆的内容的考查比重加大

在新课标的教学大纲中，对解析几何的要求明显降低，并且在解析几何的教学要求上偏重于直线与圆的方程(要求“理解”和“掌握”)，而对圆锥曲线，即使理科，除了掌握圆、抛物线的意义及简单性质外，其余只作“了解”要求.07年新课标地区的高考试题正是按新课标的要求命制的.2007年广东等实施新课标教学的四省，高考文、理科共六套试题中，竟然有五套试题中的解析几何综合题是以考查圆为主或与圆相关，可见其比重之大.

对08年高考的启示：由于高考综合题对圆的内容的考查，其焦点集中在圆的方程、直线与圆以及圆与圆的位置关系上，且大都是中档题，考查的知识与方法侧重于最基础的，所以建议高三复习时，只有采取“小题大作”，熟练在各种题设下求圆的方程的方法，掌握直线与圆、圆与圆位置关系的判断，才能真正收到“大题化小，小题化了”的效果.

作者简介 沈伟忠，出生于1963年9月，中学数学高教师，主要研究高、初中数学教学和数学竞赛，主编《高中数学总攻略》（360多万字，由汕头大学出版社出版）等六部高中数学学习资料，参与编写的书十多部.在各种数学专业杂志上发表数学论文100多篇.

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