用递推数列解决两类问题

通过确立序列得到相邻各项之间的一般关系以及初始值来确定通项或整个序列的思想称为递推思想.适用于定义在自然数集上的一类函数，它不仅是得到数列通项公式的重要方法，更是解决数学问题的一种重要思想.以排列、组合为背景的大多试题往往具有题意简洁、趣味性较强的特点，能更好地考查学生运用数学知识解决实际问题的能力.本文就利用递推关系解决这样的两类问题：一是有关“传球方法数”的一般计数方法；二是有关“错装信封”的概率求法.

问题1 甲、乙、丙三人练习传球,当球从某人手中传到另一人手中时,称为一次传球,但不能自己传给自己. 从甲开始,传球5次后,球仍回到甲手中,共有多少种不同传球方法?

分析 由于所涉及传球次数较小,故利用枚举法最适合;但是不利于发现一般的结论,因此本文对第二次接球的人是否为甲进行分类讨论,从而找到相邻两次传球之间的递推关系.

解 形如甲×甲××甲型传球有2×2=4种；形如甲×乙××甲型传球有1+2=3种；形如甲×丙××甲型传球有1+2=3种；故共有10种不同传球方法.

评注 上述解法利用甲×甲和甲×#(#:表示这次接球的人不是甲)把5次传球降为3次传球问题.利用同样的思路我们可以得到如下传球n次的一般计数方法.

【传球问题】 包含甲、乙在内的m(m≥3)个人练习传球,设传n球次,当球从某人手中传到另一人手中时,称为一次传球,但不能自己传给自己.

Ⅰ.球首先从甲手中传出,经过n次传球后,仍回到甲手中,共有多少种不同方法?

Ⅱ.球首先从乙手中传出,经过n次传球后,传到甲手中,共有多少种不同方法?

分析 由于经过n次传球后要求回到甲手中与经过n-2次传球后的情形有比较密切的关系,故我们可以先寻找它们之间的递推关系.

解 a璶表示球首先从甲手中传出, 经过n次传球后,仍回到甲手中的方法种数；

b璶表示球首先从乙手中传出, 经过n次传球后,传到甲手中的方法种数；

由上述记法,易知球从除甲之外的任何一人手中传出,经过n次传球后,传到甲手中的方法种数均为b璶.

一方面,对每个传球的人来说,每次传球的方法有(m-1)种,所以经过n次传球后,传到甲手中的方法种数为(m-1)n.而经过n次传球后,传到甲手中有以下两类情形：一类是球从甲手中传出,共有a璶种方法;另一类是球从非甲手中传出,共有C1璵-1·b璶种,故有等式(m-1)n=a璶+(m-1)·b璶①

另一方面a璶种方法,又可以分为以下两种情形:

第一种甲经过2次传球后,回到甲手中,形如 甲×甲……则共有C1璵-1·a璶-2；

第二种甲经过2次传球后,未回到甲手中,形如 甲××……则共有A2璵-1·b璶-2；

故又有等式a璶=(m-1)a璶-2+(m-1)(m-2)b璶-2…………②联立①②可得

a璶=a璶-2+(m-2)(m-1)n-2，即a璶-a璶-2=(m-2)(m-1)n-2且a1=0,a2=m-1，由累加法易得:

当n为偶数时a璶-a2=(m-1)n-(m-1)2m

当n为奇数时a璶-a1=(m-1)n-(m-1)m,故有a璶=(m-1)n+(-1)n(m-1)m代入①式得b璶=(m-1)n-(-1)nm.

问题2 某人给4位朋友写信,写好4封信与4枚信封后,交给秘书,求粗心的秘书把所有的信装错了信封的概率是多少?

分析 A、B、C、D表示写给4位朋友的信封;与之对应的4封信分别用小写的a、b、c、d表示.由枚举法容易得到所有的信装错了信封共有9种情形.

解 不妨设a装进B信封,此时装信工作分为以下两类:

一是b装进A信封,有1种情形;二是b不装进A信封,有2种情形.故a装进B信封共有3种情形,同理可知c或d装进B信封也各有3种情形,因此4封信都装错了信封的概率为: P4=94!=924=38

评注 利用上述解法的思路可以得到如下更为一般情形的概率算法.

【错装信封问题】 某人给n位朋友写信，写好了n枚信封与n封信后，交给粗心的秘书，求所有的信装错了信封的概率是多少？

分析 由题意易知,错装n封信的前提一定要保证前面的n-1封信必须装错,故错装n封信的情形与错装n-1、n-2封信的情形有较密切的关系,所以应先寻找他们之间的关系式.

解 A、B、C、D……表示写给n位朋友的信封;与之对应的n封信分别用小写的a、b、c、d……表示.a璶表示n封信中没有一封配对的装法种数；则P璶=a璶n!表示“所有的信都装错了信封的概率”.

不妨设a装进B信封,可以分为以下两类:

巩固练习：

1．甲、乙、丙三人练习传球，从甲开始，问传球6次后仍传给甲的方法数是多少?

2．甲、乙、丙三人练习传球，从乙开始，问传球6次后传给甲的方法数是多少?

3．甲、乙、丙、丁四人练习传球，从甲开始，问传球5次后仍传给甲的方法数是多少?

4．甲、乙、丙、丁四人练习传球，从乙开始，问传球5次后传给甲的方法数是多少?

5．某人给5位朋友写信,写好5封信与5枚信封后,交给秘书,求粗心的秘书把所有的信装错了信封的概率是多少?

6．某人给6位朋友写信,写好6封信与6枚信封后,交给秘书,求粗心的秘书把所有的信装错了信封的概率是多少?

参考答案:

有关排列、组合这一章内容在高考所占比重不大,但试题一般都以实际应用题形式出现,主要考查学生运用数学知识解决实际问题的能力,还能较好区分出学生的思维品质；而且试题都具有一定的灵活性、机敏性和综合性，在“倡导创新体系，提倡素质教育”的今天,本章考题是最好的体现.通过对一些趣味性较强且具有一定规律性的问题进行归纳总结,一是有利于激发学生研究问题的兴趣；二是提倡学生自主学习,对于一些问题能做到事半功倍之效.

参考文献

[1] 贾凤山.《走向高考》, 人民日报出版社,2007,4.

[2] 颜培强. 利用递推思想解决计数问题[J]. 中学数学杂志,2004,3.

[3] 邹明.一类染色问题的计数公式[J]. 中等数学 ,2005,1.

作者简介 刘华湘,男,1979年3月生于福建省龙岩市.2002年毕业于福建省厦门市集美大学师范学院数学系,毕业后至今一直任教于福建省晋江市养正中学.

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