向量错解诊断

陈定昌

从概念看：向量知识中的概念较多，且给出概念的角度交叉而多变，容易因概念模糊而发生错误．

例1给出下列命题：

①零向量与任意向量平行，且与任意向量的数量积为零向量；

②零向量和单位向量均只有一个；

③设A，B，C为不同的三点，且存在实数λ，μ，λ+μ＝1，＝λ+μ，则A，B，C三点共线；

④若a＝ｂ＝1，ｃ＝2ａ+3ｂ，ｄ＝3ａ-2ｂ，则ｃ⊥ｄ．

其中正确命题的序号是

（填上所有正确命题的序号）．

错解： ①②③④

正解： ③

诊断： 在“平行向量”的定义中，有“零向量”与任一向量平行的规定.而在“向量数量积”的概念中规定：零向量与任一向量的数量积为零，而不是零向量.故命题①的前半部分是正确的，但后半部分是错误的，故①为假命题．

课本对“相等向量”的定义中，有“零向量与零向量相等”的规定，即所有的零向量都是相同的，故零向量只有一个.我们知道，单位向量是指“长度等于1个单位的向量”，方向不受限制，所以单位向量有无数个.②也为假命题．

由=λ+μ，λ+μ＝1，得=λ+（1-λ），进而有=λ，且由已知得≠0，≠0，故根据共线向量定理可知A，B，C三点共线.所以③是真命题．

对于命题④，错解误以为两单位向量是两坐标轴正方向上的单位向量：若ａ，ｂ分别是ｘ轴与ｙ轴方向上的单位向量，则ｃ＝（2，3），ｄ＝（3，-2）， ∵ 2×3+3×（-2）＝0， ∴ c⊥d．但已知中并未给出类似条件，故不能用此结论来判断，因而④又是一个假命题．

预防措施： 从给出向量有关概念的四个角度来梳理概念，可大大减少此类错误的发生．

角度一：大小（模）与方向．弄清概念是只针对大小定义的，还是对大小和方向都有定义的．如单位向量仅有关于大小的定义，而实数与向量的积既有关于大小的定义，又有关于方向的规定．

角度二：非零向量与零向量．弄清定义是仅对非零向量而言的，还是兼及非零向量与零向量的，特别要注意对零向量的规定．如例1中提到的“平行向量”与“向量数量积”的概念．

角度三：“起点”与“终点”．在向量的加减运算中要弄清是“同一起点”“去掉起点”还是“起点与终点合一”的．如向量加法的“三角形”法则与“平行四边形”法则．

角度四：“基向量表示”与向量的坐标表示.弄清各种表示法的性质，相互之间有什么联系与区别．

从性质看： 向量的方向性决定了向量运算的性质与实数运算性质的不同．一些同学由于对实数运算的性质非常熟悉，而对有关向量运算性质的了解不够深入，所以在进行向量运算时，时常会受实数运算性质的干扰导致错误．

例2已知命题：

①若a≠0，b∈R，且ba=0，则b=0；

②若a·b=0，则a=0或b=0；

③若a+b=a+ｂ，则a与b方向相同；

④（a·b）ｃ-（a·ｃ）ｂ＝0；

⑤（a+b）（a2-a·b+ｂ2）＝a3+ｂ3．

其中正确的命题个数为

（A） 1 （B） 2

（C） 4 （D） 5

错解： D

正解： A

诊断： ①真．由“实数与向量的积”的定义可知（与实数运算中的“a≠0，ba=0，则b=0”类似）．

②假．错因：与实数的性质：“当a，b都是实数时，若ab=0，则a=0或b=0”进行了错误类比．根据“两向量垂直”的定义，当a≠0，b≠0，而a⊥b时，也有a·b=0.

③假．错因：未考虑零向量的向量本质．当a或b中有一个为零向量时，该等式也成立，但此时两向量的方向不相同．

④假．（a·b）ｃ的结果是与c方向相同的向量，而（ａ·c）b的结果是与b方向相同的向量，因此向量的乘法不能像实数乘法那样随意交换因子．

⑤假．错因：盲目类比实数运算中的“立方和公式”．事实上，从形式上看，等式的左边为向量，而右边为非零实数，故两边不可能相等．

预防措施： 经常进行类比思考，弄清楚向量运算性质与实数运算性质的相同、相近和不同点，明确要注意的问题，可较快提高在这个方面的“抗错”能力．

从应用看：用向量知识求解综合性问题或实际问题时，弄清问题中的向量的意义乃是解决问题的关键，不然的话，就容易出错.

例3将函数ｙ＝-2（ｘ-2）2-1的图像按向量ａ平移，使得抛物线的顶点在ｙ轴上，且在ｘ轴上截得的弦长为4，则向量ａ=.

错解： （2，9）

正解： （-2，9）

诊断： 图像按向量ａ＝（ｍ，ｎ）平移的意义，是图像向左右与上下进行的平移.当ｍ＜0时向左平移ｍ个单位，当ｍ＞0时向右平移m个单位；当ｎ＜0时向下平移ｎ个单位，当ｎ＞0时向上平移ｎ个单位，也即是用（ｘ-ｍ，ｙ-ｎ）代替原函数式中的（ｘ，ｙ）.

本题可从将图像先左右平移后上下平移来考虑，将ｙ＝-2（ｘ-2）2-1的图像向左平移2个单位，则抛物线的顶点在ｙ轴上，此时函数变为ｙ＝-2ｘ2-1；再将抛物线ｙ＝-2ｘ2-1向上平移9个单位，满足“在ｘ轴上截得的弦长为4”，若图像是按向量ａ进行平移的，则ａ＝（-2，9）．错解不清楚按向量平移的几何意义，从而误以为ａ的横坐标就是2．

预防措施： 在审题时注意问题本身的向量意义，可有效防范此类错误的发生.一般情况下，对以向量形式给出条件的问题，首先应弄清向量的几何意义；而考虑用向量知识求解问题时，则应首先理解问题中已知条件、所求结论的向量意义．

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