从一道美国数学赛题引出的一组几何定理及代数证法

曾恒忠　白方奎　邱方争

第五届美国邀请赛有一试题是：如图1示，正方形S₁、S₂内接于直角△ABC，如果S₁的面积是441，S₂的面积是440，求：AC+BC

在解题中笔者获得下面的数学信息：

CD=AC×BCAC+BC.

将以上任意的一定理放在未知定理构造过程的人前都是较难解决的问题，因为他们往往都会依靠常规几何证题思维证明，这恰恰是思维受阻的因素，定理的证明用代数方法解决更妙，限于篇幅仅证定理3证明了定理3，定理1、定理2相应可以证明下面将证明定理3

例6图形变为梯形，解题方法未变；例7讨论在矩形中三个三角形仍相似的长和宽应满足的条件，解答中巧妙地将P点存在情况的问题转化为求一元二次方程根的情况，这是数形结合和转化的数学思想方法的典型应用

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