谈利用必要条件解题

　　必要条件是数学中的一个重要概念，数学中很多问题利用其题设的必要条件，往往可以得到简捷迅速的解决. 利用必要条件解题，即挖掘题设的必要条件，通过对题设必要条件的解决，而获得原问题的解决或解题思路. 利用必要条件解题作为解题策略，基本思想是很简单的：问题往往是寻求“题设的充要条件”，而相对于“题设的充要条件或充分条件”而言，“题设的必要条件”往往显得简单、直观和具体，容易解决，并且所求得的题设的必要条件，不仅包含着题设的充要条件，而且在题设的必要条件的解决过程中，常常隐含着问题的解法. 因此，人们在对某个问题解决有困难时，常常会想到先寻求题设的必要条件，然后再通过验证其充分性，而获得问题的解决．即直接解决题设的充要条件有困难时，通过先考虑题设的必要条件，使题设的充要条件只需到题设的必要条件这个较小的集合中去寻找即可(如图). 因此，利用必要条件解题常表现为范围的收缩或限制，即由从较大范围(U)中的寻找转化为在较小范围(B)中的寻找．
　　利用必要条件解题有三种功能：⑴直接解答问题；⑵提示解题方向；⑶先缩小范围，再通过逐一验证是否是充分条件，使问题获解. 总之，利用必要条件解题是一个非常有实效的解题策略．以下略举数例加以验证．
　　
　　1 直接解题
　　
　　2 提示解题方向
　　
　　例3 如图，在△ABC的三个顶点A、B、C处分别有动点D、E、F，并且它们分别沿射线AB、BC、CA方向做匀速直线运动. 已知它们同时出发，并同时分别到达B、C、A三点. 求证:在这个运动过程中，△DEF的重心G是定点．
　　分析 既然在这个运动过程中，△DEF的重心G是定点，所以运动过程中的任意时刻的△DEF的重心M就是定点G(必要条件). 从而只需先确定某一特殊位置的△DEF的重心，此即为要证明的定点. 这样，解题目标已经明确，问题的证明就会变得明朗起来. 故，首先，确定△DEF的重心G是定点谁，至关重要. 一方面它能使解题目标明确；另一方面它能帮助我们检验结论是否正确. 这只需注意到刚开始运动时和运动结束时，△DEF的重心G均是△ABC的重心，是定点. 其次，同时出发、同时到达、匀速直线运动，这些关键词暗示着什么?时间过半，则任务过半，在同一时刻，动点D、E、F所走完全程的“份额”是相同的. 用数学语言表示就是在任何时刻点D、E、F分别分有向线段AB、BC、CA的比是同一个实数λ．这是一个重要的信息！第三，下面显然可以用坐标法，即在平面ABC上建立坐标系，使点与有序实数对一一对应，将几何证明转化为程序化的代数计算．第四，可能会有同学根据建立平面直角坐标系的常规方法，以直线BC为x轴、以线段BC的中点为原点建立平面直角坐标系．这样虽然可以使B、C两点的坐标具有对称性，但A、B、C三点的对称性却被破坏了. 在题设中A、B、C三点的地位是平等的，我们应该不偏不倚地对待它们，即任意建立直角坐标系．
　　
　　巧解：令f(x)=0，易知满足题设条件(充分条件)．立得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0．上述解法就是用的特殊化方法，而不是利用必要条件解题．
　　
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