阿罗定理的故事

苏振华

阿罗定理证明了投票并不是通往民主的捷径，同时也加深了人们对民主制度更多的理解

规则、约束似乎已经成为现代人生活中无法回避的重要内容。而我们可以设想，在结成社会之前的原始状态下，由于没有任何规则、任何约束，人们会陷入到“一切人对一切人战争”的恐怖生活之中。为了和平共处，人们必须达成一些基本的共识，比如共同遵守任何人不得随意侵害他人生命之类的原则。

形成某种共同意志是人类社会中频繁发生的事。可是，众说纷纭时，共识怎样才可能形成呢？我们可以设想有这样几种方式:其一，知识就是力量，让最聪明的人替所有人做决定;其二是把命运交给上帝，根据宗教教义、传统来做决定;其三，人群中有一个独裁者，他的意志就是一切;其四，通过投票的方式，依据某种投票规则，比如少数服从多数的原则来做集体决策。

在现代社会里，前三种方式是不能被接受的，康德在200年前提出的一个伟大命题——“每一个人都是目的”，已然成为普世价值。在做集体决策时，每一个人的选择都是必须被尊重的，上述前三种方式违背了这一原则，而最后一种方式则被广为接受，这种方式被称为“民主”。

“民主”，这是一个令国人百感交集的词。“五四”以来，“民主”与“科学”就成为国人孜孜以求的强国之路。在为数不少的人的理解中，“民主”被理解为是一种投票规则，其意义在于大家根据多数原则通过投票推举出最受我们爱戴或信赖的人。

然而，在今天看来，如此理解民主显然是太简单化了。伟大的古希腊哲学家苏格拉底因言获罪，要接受公民大会的判决。这一次的公民大会经历了初审和复审两道程序，初审中500个公民进行了投票，结果是280票对220票判处苏格拉底有罪。复审是决定苏氏是否该判死刑，复审之前，苏格拉底雄辩地为自己做了无罪辩护，可是希腊民众不仅没有被他口才折服，反而更加激怒，结果是以360∶140票判处苏格拉底死刑。所谓的民主，就这样剥夺了一个文化巨人的生命。

毫无疑问，民主是一种伟大的价值，可是，将民主简单地理解为多数决策规则是过于简单化了，多数决策原则很可能会带来逻辑上矛盾的结果，对此做出了最深刻和最彻底揭示的是美国当代的思想家肯尼斯·阿罗，他于1972年获得了诺贝尔经济学奖。

阿罗定义了个人做选择时必须遵守的5项公理性条件:第一，理性条件，这项条件要求个人选择中的偏好排序是可以传递的，即如果某个人对三种状态的排序顺序是x优于y、y优于z，那么要求x优于z成立;第二，无约束域条件，即每个人对备选项中所有逻辑上可能的排序都是许可的，这一要求即是所谓“个人主权”原则，它强调的是个人的偏好完全是自主选择自由表达的;第三是非独裁条件，不允许存在某个人的偏好选择总是自动地成为大家的共同偏好，这是要求不能存在独裁者;第四是帕累托原则，当所有的社会成员都认为某种备选方案优于另一种方案时，社会也应该这样认为;第五是无关方案独立性条件，这要求任意两个备选方案的排序应具有独立性，应仅取决于个体对这两个社会状态的排序，与其他社会状态的排序无关。这些前提条件被认为只是一些常识性的要求，大致都是一些起码的共识。但是，从这些常识性前提出发，阿罗却在1951年发现，如果对大于3个的备选方案按照少数服从多数规则进行投票时，会出现投票循环。进而，阿罗更彻底地证明了，不可能找到一种仍不为人所知，但又满足阿罗合理性指标的社会决策规则。这就是著名的“阿罗不可能性定理”。

阿罗定理的证明过程很复杂，但并不难理解，可以给出一个最简单的例子来说明。3个人甲、乙、丙对三种社会状态a、b、c进行投票。甲的选择是a优于b、b优于c，乙的选择是b优于c、c优于a，丙的选择是c优于a、a优于b，按照多数原则选出一个最佳方案,则我们可以发现，对a与b投票时a胜于b，对b与c投票时b胜于c，对c与a投票时c胜于a，出现了循环，即a>b、b>c、c>a，这种结果是一种逻辑矛盾。如果一定要做出选择，无论是选择哪个选项，总会违背一个人的意愿。当年，伟大的法国思想家托克维尔在考察美国的政治制度时就发现，简单多数投票规则会出现一种所谓“多数人的暴政”，形成多数意见对少数意见的压制。

当然，投票循环并不是经常发生，而具有一定的偶然性。后来有研究发现，随着投票人数量或被选择项越多，产生投票循环的可能性就越大。在投票者为3人，选择方案为3个的情况下，产生投票循环的概率约为5.7％;当投票者增加至15人，选择方案增加至11个时，产生投票循环的概率提高到50％，也就是说，两次投票中就有一次投票循环现象出现。因而，对于每天都在频繁进行着各种会议和集会的民主社会来讲，如此高的投票循环概率使得这种决策方式失去了意义。

而且，按照多数原则形成的决策结果未必可靠。一个真实的例子是，乌克兰在1991年3月的全民公决中，70.2％赞成维持苏联联邦体制，不赞成独立;同年12月的全民公决，90.3％的人却转过来支持乌克兰的独立。

阿罗定理的发现是向传统思维投掷了一枚思想炸弹，引起了西方学术界广泛的讨论，一直延续到今天。但是，阿罗定理经受住了所有逻辑上的质疑，研究者们不得不同意，只要遵循阿罗的逻辑框架，阿罗定理就一定成立。

难道民主并不如想象中的美好吗？事实并非如此，阿罗定理其实只是加深了人们对民主制度更多的理解。在今天，能有效克服阿罗定理的新型民主制度已然出现，并已在社会实践中逐渐扩展，这就是“协商民主”制度。