数学教学智慧

黄爱华 胡爱民

《论语·为政》说：“视其所以，观其所由，察其所安。人焉庾哉？人焉庾哉？”意思是说：首先观察一个人因何去做一件事，然后观察他如何去做这件事，再观察他做此事时的心情如何，安或不安。如此观察，一个人是好是坏还能向何处去藏匿呢？！它的本意是告诉人们如何去鉴别一个人的好坏，考察的是一个人的道德修养。

但是，我们认真思考一下就会发现，在数学教学中如何引导学生通过动手实践、自主探索解决问题的策略，又何尝不是同样的道理呢？

视其所以——怎么样

托兰斯指出，要在承认儿童具有可开发的巨大创造潜能的基础上，为其提供新的机会，让儿童能够独立地进行创造性的学习或从事其他活动，减少不必要的规定，培养、增强儿童的自信心。因此，教师要信任学生，充分发挥学生主体积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中去探索、争论和发明创造，从而真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

案例：“循环小数”教学片段

师：（指板演题3……”中不断地重复出现的数字是哪一个？（3）。在“5.3272……”中依次不断地重复出现的数字是哪几个？（2、7）。在“6.416416……中不断地重复出现的数字是哪几个？（4、1、6）。

师：我们能不能想一个办法，让循环小数的写法简单一些，比如，去掉省略号，依次不断重复出现的数字也只写一次，却依然能让人看出这个循环小数的意思？

生1：我想了一个办法，3……写作3.（3）；5.327……写作5.3（27）；6.416416……写作6.（416）。

生2：我的办法是这样的，3.33……写作3.3；5.32727……写作5.327；6.416416……写作6.416。

生3：我的办法是这样的，3……写作3.（无限）；5.32727……写作5.3（无限）；6.41641……写作6.416（无限）。

生4：我的办法是这样的，3.33……写作3.3（3无限）；5.32727……写作5.327（27无限）；6.41646……写作6.416（416无限）。

生5：我的办法是这样的，3.33……写作3.3；5.32727……写作5.3；6.41646……写作6.416。

师：你认为哪种符号比较好？

生1：不要有汉字比较好。

生2：第五种办法比较好，简洁明了。

生3：我认为6.416，只要在循环节的第一个数字和最后一个数字上点点就可以了。

在本案例中，教师没有采用自学课本这种形式，同时也不急于把简便写法告诉学生，而是让学生自己想办法去创造符号，使学生在想办法的过程中体会到数学符号产生的需要，体会到数学知识中符号是一种约定俗成，体会到符号不再那么神秘，而当有些学生的思路接近数学上的约定俗成时，体会到的是一种学习成功的满足。在此基础上，组织学生对所创造的符号进行讨论，进一步体会数学符号简洁明了的特点。

学生只有自发地、具体地参与各种实际活动，大胆地提出自己的假设，并经过验证，才能获得真正的知识，才能发展思维。在这里，学生经历了“遇到问题——寻找、发现问题特征——表征问题”的一个学习过程。学生需要思考：循环小数怎样写更简单一些呢？带着这个问题，学生去观察、思考循环小数的特征，在發现这种特征之后，学生按照自己的喜好去表示循环小数的循环节。像这样把理解的特征外化出来，就必须注重问题的表征，只有将问题整体外化，才能有效地把握住问题本质的内部结构，学生的思维才不是虚无缥缈的，而是具体、真实的。

观其所由——为什么这样

我们知道人们认识客观世界的过程是一个螺旋式的上升过程，它从原有经验出发，在低水平支撑下建立，通过认识一实践再认识一再实践逐步建构其自身对外部世界的认知，并在认识过程中逐渐内化为自己的心智。正是基于这种认识，课程标准强调数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

但是，并不是所有的认识过程都是阶梯式发展的，也可能是跳跃式的，因为有很多东西在人们的经验中早就有了，关键是如何在一定的问题情境中使新知与经验获得联系，一旦联系成功，新知的获得便水到渠成。

案例：“比较数的大小”教学片段

●第一次抽签，从个位抽起。

游戏规则：

（1）每次两队各派一个代表抽签；

（2）第一次抽到的数字放在个位上，第二次抽到的放在十位上，第三……

（3）哪一队抽到的数字组成的四位数大，那一队就贏；

（4）能确定胜负时，本轮比赛结束。

●第二次抽签，从千位抽起。

游戏规则：

（1）每次两队各派一个代表抽签；

（2）第一次抽到的数字放在千位上，第二次抽到的放在百位上，第三次……

（3）哪一队抽到的数字组成的四位数大、那一队就贏；

（4）能确定胜负时，本轮比赛结束。

（黄河队抽到8，长江队抽到5。把8与5的卡片分别贴到千位上。）

师：让我们接着抽。

生：不用抽了。黄河队赢了，因为8个千比5个千大。

师：假如长江队百位上抽个9，黄河队百位上抽个6，能赢回来吗？

生：不能，因为百位就是抽到9，也只代表900，都不够1000，而刚才黄河队比长江队多3000。

游戏的基础其实就是10以内数的大小比较和位值制的认识。在相同数位上，不同的数大小不同。即使是十位、百位、千位，也可以看作几个十，几个百，几个……从而转化为10以内的数比较大小——这是基点。

“不用抽了”一为什么呢？把8与5的卡片分别贴到千位上，8个千比5个千大。第二轮游戏的巧妙之处就在于“一战定乾坤”一千位上，不同的数大小不同，由于首先就将抽到的数字放在最高位，这就导致了初战即决战一最高位的数字大小直接决定了两个数的大小。这里的“为什么”就促使学生自己在活动中意识到：两个数大小的比较，先看最高位一这是发展。

●第三次抽签，由抽签者自己决定放在哪一位上。游戏规则：

（1）每次两队各派一个代表抽签；

（2）每一次抽到的数字由抽签者自己决定放在哪一位上；

（3）哪一队抽到的数字组成的四位数大，那一队就贏；

（4）能确定胜负时，本轮比赛结束。

（黄河队抽到3，学生把3放到个位上，长江队抽到7，学生把7放到百位上。）

师：请你们说说，为什么这样放？

生1：我抽到的3太小了，放在个位比较好，让出高位，给大数字。

生2：我抽的7比较大，本来想放到千位，但要是等一下我们组还有人手气比我好，抽到8或9，放在千位更好，所以放在百位。

师：要是等下抽到的数都比8小，怎么办？生2：那也没办法，博一博呗！

生3：也不一定输，还得看第三组抽到什么数。第三轮游戏的关键在于对位值制的深刻理解及对数感的直觉把握。在相同数位上，不同的数大小不同；在不同的数位上，即使相同的数大小也不同一这是数的大小比较的基础。

抽到的数字放在哪位呢？放在低位，如果后面抽到的数字更小怎么办？放在高位，后面如果抽到更大的数字岂不是让自己立于失败之地？一这里需要数感的直觉把握。

案例中，学生将抽到的3放在个位，而另一个学生则将抽到的7放在百位，为什么这么做呢？抽到的3太小了，放在个位比较好，让出高位，给大数字。抽的7比较大，本来想放到千位，但要是等一下抽到8或9，放在千位更好，所以放在百位。

每抽出一个数位，上的数，都会引起孩子们的关注和思考，抓住这种时机及时让他们讨论：为什么放在这里呢？为什么还要继续往下抽呢？为什么不需要抽了呢？现在可以确定胜负了吗？为什么？

每一个“为什么”都在促使学生在操作中加深

对数位、计数单位、十进制的认识，自我完善数的相对大小的认识，在不断的比较中优化、强化对数的理解，培养数感，从而把比较数的大小法则背后的道理，由学生自己分析出来，抽象的法则，变成了学生内化的知识。

这也提醒我们，教学不能只是传授一种知识，不应只是注重数学形式层面的东西，而更加应该重视数学发现层面的教学，即让学生去经历解决问题的过程，去经历理解、感受数学思想和观念、过程与方法的过程。在这个过程中，一些概念和认识是在学生操作取得丰富的表象基础上，自己对表象进行抽象概括而形成的。教师的作用只是提供问题情境，适时画龙点睛。

寮其所安——他喜欢怎么做

数学家喜欢或者希望把什么都归结为数学关系，总是思考着：在表象千丝万缕的背后有着什么联系，可以用一个什么数量关系式表达。笛卡儿正是出于想把任何问题转化为代数问题求解的想法才发明了解析几何。这也反映了人们认识事物从具体到抽象、从特殊到一般的辩证的认识过程。

这种对现实问题数学化的行为就是一种数学式的思维，这种数学思维是受到数学化观念思想的影响的。我们在数学教学中要重视数学化思想、观念、方法的教学，要引导学生将实际问题转化成可以处理的但又对原来的问题有用的数学问题，寻找解决问题的数学方法，有时还须对问题做出解释和讨论。如何使学生获得这种能力不是很简单的，它比使学生获得数学知识更难。

案例：“找规律"教学片段

教师先让学生听一段有规律的鼓点音频节奏，让学生思考：

（1）找一找，它的规律是什么？

（2）想出一种自己喜欢的方法把这个规律表示出來，让别人一眼就能看明白。

（3）在你的表示方法中，照这个规律排列下去，它的第16个是什么？

这时学生的创造力得到了充分的发挥和展示，他们或左右或前后，交头接耳，嘀嘀咕……不一会儿，呈现出来的方法五彩缤纷：

有学生表示为：abcabc……第十六个为“a"。有学生表示为：123113……第十六个为“1”。有学生表示为：△□○△□○……第十六个为“△”。

有学生表示为：强弱弱强弱弱……第十六个为“强”。

有学生表示为：xx……第十六个为"X"。

这样通过符号化的处理，不便于直观把握的有规律排列，由于学生用自己喜欢的方法画了出来，便得以形象地显现在学生面前，学生可以对照图示十分清楚地意识到自己所面临的问题，并寻找适合自己的解决策略。

教师接着问：“除了刚才同学们用到的这些方法外，你还有什么方法可以很快得出第十六个是什么呢？”这时很多学生高举双手，叫道“我知道，我知道。16÷3=5……1”

在经过了前面自主探索用自己喜欢的方法表示有规律排列的过程后，在强烈的表象刺激下，联系已有的知识经验基础，学生十分顺利地得出可以用有余数除法来解决这类问题：要求第多少个是什么，先看它几个一组，再用总个数除以每组的个数；余数是几，就是一组的第几个；没有余数就是一组的最后一个。

如同我们强调算法多样化与最优化的统一样，在解决问题时，我们除了提倡策略的多样化之外，同样要注意策略的最优化。

教师问道：“在文字、数字、字母、图形、符号这些方法中，你喜欢用什么方法？"

学生众口一词：“计算好，因为简单。”

教师反问：“那么其他方法一点好处都没有吗？”学生慢慢体会，有人就说了：“文字、图形那些方法比较清楚方便，一眼就能看清楚；但是麻烦，数字大了怎么画呀！"

各种意见进行碰撞，最后形成一致看法：如果数字小，我们就可以选择图形、文字、数字、字母等方法，比较直观；如果数字大了，肯定就用计算的方法比较好。

通过解决“你喜欢什么方法”的问题，促使学生将不同方法进行类比，明确各种策略的优势和缺点，归纳出解决问题的不同策略，提炼出解决问题策略的最优方法，对于培养学生解决问题的能力起到了积极的作用。这个过程其实质就是从数学角度描述和刻画事物的方法，这种数学化的思想方法对学生解决问题，把握事物的数学侧面有着重要的指导作用。

事实上，无论是“视其所以”，还是“观其所由，察其所安”，其核心只有一个，便是：以学生为本，尊重学生的主体地位。而要使我们的教学更具有智慧，就不能只是在某一个课例、某一节课中做到“视其所以，观其所由，察其所安"；只有在我们所有的教学活动中去贯彻、执行这样的理念，我们的教学水平才会日渐提高，我们的教学智慧才能日益提升。