为什么任何多边形不能有３个以上的内角是锐角？

于志洪

问题：三个内角都是锐角的三角形叫锐角三角形．照此类推，四个内角都是锐角的四边形可以叫做锐角四边形吗？奇怪的是我们竟然无法画出所谓的“锐角四边形”．更进一步地想，五边形、六边形中可以有几个内角是锐角呢？

请你画几个图，思索探究一番．你终于发现：所有的多边形竟有一个共同的性质，内角中锐角的个数不能超过3个．

如何证明呢？

分析为了说明它的内角不能有3个以上的锐角，可从另外一个角度考虑：如果有4个或4个以上的内角是锐角．

解答如果有4个或4个以上的内角是锐角，那么与这些锐角相邻的外角就有4个或4个以上是钝角，它们的和将大于360°.这个多边形的外角和当然就大于360°了，这与任意多边形的外角和等于360°相矛盾．所以，多边形的内角中，锐角的个数不能多于3个．

点评(1)本题若从内角考虑，较难说清楚理由，而从外角入手，问题便简单多了．这是因为多边形的内角和随着边数的改变而变化，而外角和却是一个常数360°.因此，用外角和处理这个问题较简单.(2)注意本题的说理方法，当直接说明“为什么多边形不能有3个以上的内角是锐角”有困难时，先假设它的反面“多边形有4个或4个以上的内角是锐角”成立，然后以这个假设作为已知条件进行推理，当得出的结论与以前所学知识相矛盾时，说明假设是错误的．如本题得出“多边形的外角和大于360°”，这与“任意多边形的外角和等于360°”相矛盾，从而肯定所需说明的结论是正确的．

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