数学大师解题小故事

2006-09-28 06:11于志洪
初中生世界·八年级 2006年9期
关键词:条腿外角酒杯

于志洪

(一)曾任国际数学教育委员会主席的弗赖登塔尔在《思辨数学与算法数学》中提出问题:“设有白酒与红酒各一杯,分量相同.现从白酒杯中舀一匙放入红酒杯中,调匀后,舀回一匙放进白酒杯中.问白酒杯中所含的红酒是否少于红酒杯中所含的白酒?”

弗氏说,会出现两种解法.多数人会在设酒杯和羹匙的容积之后,实际计算一番(其中不少人还会遇到困难).只有少数人会作如下的“思辨”求解:两个杯子最终所盛液体分量相同.设想将每杯中的白酒与红酒分离,则白酒杯中之红酒是来自红酒中之“所失”,而红酒杯中“所失”的分量正好由白酒置换.因此,白酒杯中所含的红酒与红酒杯中所含的白酒,分量相同.

多一点思考,换一个角度,问题就一语道破!大师的“思路”,令人大开眼界.

(二)当代数学大师陈省身,1980年在北京大学的一次讲学中妙语惊人:“人们常说,三角形内角和等于180°.但是,这是不妥的!”当时全场爆发一阵笑声,于是陈教授作了精辟的解释:“三角形内角和为180°”不妥,不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对,应该说“三角形外角和是360°”.把眼光盯住内角,只能看到三角形,四边形,……,n边形的内角和分别是180°,360°,……,(n-2)·180°——公式里出现了边数n.

如果看外角呢?不论是三角形、四边形或n边形,外角和都是360°!这样就把一切可能的情况用一个十分简单的结论概括出来,用一个与n无关的常量(360°)代替了与n有关的公式,找到了更一般、更明白的规律.

设想一只蚂蚁在多边形的边界上绕圈子,每经过一个顶角,它的前进方向就要改变一次,改变的角度恰好是这个顶点处的外角的度数.爬了一圈,回到原处,角度改变量之和当然恰好是360°.

(三)G·波利亚曾任国际数学教育委员会主席,“鸡兔同笼”问题最早见于我国古代的《孙子算经》.波利亚认为该题是一个“智力测验的难题”,若干世纪以来一直使“许多聪明的青少年感兴趣”.下面就让数学教育大师向我们讲解“鸡兔同笼”问题.

题目:一户农家的大笼子里关着若干只鸡和兔子,它们共有50个头和140条腿,问其中鸡、兔各几只?

解1(试凑法)一共50只鸡兔,它们不会全是鸡,否则只有100条腿;也不可能全是兔子,否则将有200条腿.会不会正好一半是鸡,另一半是兔子?如果这样,总共的腿数为25×2+25×4,即150条,超过了题目中的140条.可知兔子应少于25只,让我们再试一试(即20只兔子,30只鸡),这时总共的腿数为20×4+30×2=140(条).这里用的是试凑、猜测的办法.

解2(触景生情引发的巧思)在我们持续探求新解法时,有人忽然看见笼子里的家畜作出一种新姿势:每只鸡都用一条腿站着,而每只兔子都仅用后腿(两条)站着.这时,只用了半数的腿,即70条腿,在70这个数目中,显然鸡的头只计算了一次,而兔子的头则计算了两次.从70这个数减去所有的头数50,就应是兔子的头数70-50=20,即兔子20只,于是鸡有30只.

巧思是诱人的,但毕竟不可多得,如果不是“触景生情”,也一定是有心人久经思索所得.

解3(代数的方法)我们已经学过“好的数学——方程(组)”,多数读者一定会列方程(组)解决此题:

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