怎样自学初等数学

周继光

掌握好基本概念

要学好数学，首先要掌握基本概念、定理和公式。正确地理解基本概念是牢固掌握数学基础知识的前提。如果对一些基本的概念搞不清，就不能掌握有关的定理和公式，也就不能正确地进行计算和论证。由于概念模糊而在解题中造成错误的例子是很多的。例如，由于忽视对数运算法则的成立条件，把方程1/2lgx2=2变成lgx=2，就会造成失根的错误。

数学中的基本概念、定理和公式虽然很多，由于它具有严密的系统性，因此，概念与概念之间有着严密的联系。在一章一节中，一般总有一两条最基本的概念、法则在起主导作用，从它可以推导出其他的定理、公式和法则。例如，对数的定义是学习对数这一章的关键，搞懂了对数的意义，再理解对数的性质，掌握对数的运算法则和换底公式，都比较容易。怎样才能抓住最基本的概念呢?除了自己摸索外，还须争取老师指导。如果把最基本的概念和贯穿整个单元概念的脉络弄清楚了，这时你只要顺着这条主线抓住纲目，在基本概念上下工夫，就能融会贯通，掌握全局。

掌握规律抓住特点

自学初等数学，一定要抓住各门学科的规律和特点，培养逻辑思维和空间想象能力。

代数区别于算术的最大特点，是由于它引入了字母来进行运算。掌握好“字母表示数”的方法和规律，可以使我们的思想从个别到一般，从具体到抽象，发展自己的辩证思维，使认识不断深化。

字母可以表示一个数，也可以表示一个式子，还可以表示一个量、一个图形或一个集合；它使代数式不仅具有简单的特点，而且具有更高的普通性和抽象性，因而具有更广泛的实践性，在数学的其他学科以及物理、化学中，也经常用这些字母表示的公式来刻画客观世界的数量关系。例如公式S=ab，它反映了长方形面积同它的长宽之间的依赖关系；公式S=vt，它反映了物体运动的路程同速度、时间之间的依赖关系；公式P=dv，它反映了物体重量同体积、比重之间的依赖关系。上述三个问题都涉及了三个量，如果假定其中一个量在研究过程中保持不变，那么另外两个量就按照一定的比例关系变化着，这是三个问题的一个共性。由此我们就可以得到一个更抽象、更一般的式子y=kx，它反映了这三个问题的一个共同属性——成正比例关系的量。如果我们再进一步抽象，研究任何两个变量y、x之间的变化规律，即研究函数y=f(x)的意义，就会使我们的认识上升到更高的理性阶段。因此，在学习代数时，学会用字母表示数，不断培养自己把实际问题转化成数学问题的能力是十分重要的。

三角是从几何中派生出来的一门学科，不少问题要用代数学方法来研究。平面解析几何也是用代数方法来研究的。在解析几何中，通过坐标系的建立，可以把平面内的点和一对实数联系起来，这就可能把平面内关于点的问题，化为关于这些点的坐标的数的问题来进行研究，概括地说，就是“几何问题代数化，图形性质坐标化”。其实，这就是整个解析几何的思想方法。因此，在自学中把握住这个思想方法，学会适当地选取坐标系，研究曲线和方程相互转化的基本规律，对于学习解析几何是很重要的。

在初等数学中，应用形式逻辑进行推理用得较多，这是一种重要的推理方法。培养这方面的能力是学习平面几何的主要目的。开始学几何时可能会被一堆数学术语弄得晕头转向，经过一段时间以后，就会慢慢地清楚:几何研究的定理都是根据定义、公理或已经学过的定理加以证明的。每一步论证都是由若干个相互联系的判断组成的，即由一般的判断(大前提)、特殊的判断(小前提)和结论三部分组成，亦即“三段论法”，它是从一般到特殊的推理方法。掌握了这种思维方法，对几何的认识就会产生飞跃，学习进度也会加快。

独立思考方法恰当

数学逻辑性很强，因此，学习时独立思考很重要。以学习公式为例，不能死记硬背，而要在理解的基础上自然记忆，不仅要掌握公式的特点以及对它的推导过程，而且对公式的使用条件、适用范围，以及它与其他公式的内在联系，都要弄得清清楚楚，这就需要勤于独立思考，对一个公式要从各个角度想想。在看数学书时，对概念和方法的分析部分不能一掠而过，要多问几个为什么。当然，强调“独立思考”，不等于说凡事都要自己单独关在小屋子里苦思冥想，有的人为了一道难题，想了几天，这种精神是可贵的，但这种方法并不一定非要提倡。对一些难度较高、技巧性很强的题目，经过思考，钻研了一番以后仍无法解决，去问问别人，得到指点和启发后再思考，问题解决后再想一想:别人是怎样想出来的?原先我为什么想不出?受到指点启发后自己找出了什么新方法?等等。这样，解题能力就会很快提高。

最后再谈谈解题问题。学数学做习题很重要。不做习题，对概念的理解不会深刻。开始做习题时要求“准”，不能有差错，一出差错，就分析原因，总结教训。在基本上做到“准”以后，再要求“快”。解题要认真踏实，不要老是翻书上的答案，更不要未开始思考就翻答案。自学者的作业一般没有人批改，所以更不能光看答案。待自己做出来以后，再仔细从头到尾把解题过程审查一遍，然后对对答案，这当然是可以的。

自学青年，最好要订个学习计划。刚开始自学时，有的人没有计划、没有系统，碰到什么书看什么书，拿到什么题做什么题，费了不少时间和精力，收效很小。所以最好有个长计划，短安排，自学一个阶段，做一次小结。要把握住，学懂第一步，才能跨出第二步；扎扎实实地循序渐进，争取在自学中取得主动权。

(晓程摘自上海教育出版社《中学生怎样自学》)

(插图:孙飞)