当代大学生娱乐中高等数学问题在教学中的应用

经典教材因其内容的稳定性和权威性，在知识传授中扮演着基石的角色。然而，它们所包含的案例往往缺乏时效性，难以与当代大学生的生活体验产生共鸣，这可能会在一定程度上造成学生对高等数学产生距离感。为了打破这一壁垒，将高等数学的教学与大学生热衷的娱乐项目相结合，是一个极具吸引力的策略。通过巧妙融入电影、动画、漫画、小说、电视剧中的数学元素，不仅能为学生呈现一个更加鲜活、有趣的数学世界，还能极大地激发学生的学习热情。本文通过高等数学与大学生热衷的娱乐项目相结合的教学策略，用电影《星际穿越》中的巨浪问题、动画和漫画《JOJO的奇妙冒险》中的追击问题以及电视剧和小说《天龙八部》中的最优路径问题等具体案例，展示如何将高等数学的概念和公式融入娱乐情境中，以激发学生的学习兴趣和热情。这些案例不仅为学生呈现了一个更加鲜活、有趣的数学世界，还极大地提升了他们的学习动力和自我效能感。这种教学策略在心理学和教育学上的双重意义，对于促进学生学习高等数学、提高教学效果和培养问题解决能力将起到重要作用。

1 电影《星际穿越》中的巨浪问题

《星际穿越》诺兰执导的科幻片，2014年底在中国大陆上映，很多90、00后大学生看过该片。在教学时，素材可取电影中飞船降落目标星球到离开的片段，该片段叙述了男女主人公一行来到了一颗陌生的星球，回收星球数据并未留意到远处的巨浪，而巨浪接近时其高度远超众人的估计，巨浪远超估计是由于一大段巨浪被地平线遮住了。如图1，假设浪的距离为d，设被遮住的浪高为h，该星球半径等于R。

以当代大学生常用的同济大学出版社出版的《高等数学（第七版）》为例，该案例适合用于第三章泰勒公式这堂课的例题，具体知识点是泰勒公式在近似计算中的应用。例题可以帮助学生体会尤其是函数一阶导数为0时微分的近似公式Δy≈dy不再适用，而泰勒公式依旧适用，用途更广泛。

2 动画和漫画《JOJO的奇妙冒险》中的追击问题

《JOJO的奇妙冒险》漫画由哔哩哔哩漫画、腾讯动漫、漫番漫画发布。动画由david production负责制作，于2012年10月5日开始播出。其独树一帜的画风以及出色的剧情使其在年轻人中大受欢迎。在教学时，素材可取自动画《JOJO的奇妙冒险——石之海》，或取自同名漫画的单行本，该内容叙述了男女主人公在追赶“绿色婴儿”时发现他的特殊能力是使接近自己的物体变小，并且变小的尺寸和婴儿的距离成正比，男女主人公随后讨论到底能不能追上“绿色婴儿”。为了简化问题，合理假设主角的速度与自身大小成正比，有以下四个问题值得思考。

（1）婴儿不动，主角是否能追上？

（2）婴儿动，主角是否能追上？

（3）婴儿不动，主角何时能够达到初始距离的一半？

（4）婴儿与主角之间的距离关于时间的函数是什么？

问题（1）：主角无法追上，假设问题（3）的答案为T，那么主角从到的情况和从d走到类似，只是距离和速度都相应减半，用时也为T，同理到用时也为T，所以总用时为无穷大，无法追上。

问题（2）：主角也无法追上，当主角的速度下降到婴儿的速度，他们的距离就无法缩短。事实上，主角的速度会趋向于而永远无法达到婴儿的速度，具体看问题（4）。

问题（3）：设主角的初速度为v1、速度为v，主角与婴儿的距离为x，由于主角的速度与自身大小成正比，则不难得出主角的速度v与x呈线性关系，又因为速度可以表示为x，关于时间t的导数即，因此可得

同样以同济大学出版社出版的《高等数学（第七版）》 为例，该案例的问题（1）（2）可以作为第一章第一节高数课的内容，带学生领略高等数学与高中数学的最大区别：极限与无穷。问题（3）（4）可以在讲第五章定积分的时候作为例题再次让大学生学习，学生体会到自己数学能力的进步，可以解决曾经无法量化的问题，从而积累学习高等数学的信心。

3 电视剧和小说《天龙八部》中的最优路径问题

《天龙八部》是著名作家金庸的代表作之一，当代许多大学生都看过2003年版的电视剧《天龙八部》。在教学时，素材可选自电视剧《天龙八部》或是同名小说，该内容讲述了木婉清和段誉被关在石屋中、两个人因男人是否可以三妻四妾产生了争执、木婉清追打段誉的故事。为了简化问题，合理假设石屋为圆形，两个人的初始位置如图2所示，木婉清的初始位置在石屋的中心，段誉的初始位置在石屋的边界上，当开始运动后段誉沿着圆的边界（石屋边界）开始匀速运动，速度为v1，木婉清的速度为v2，其中v2速度可变。要帮助木婉清规划一个好的路径来追击段誉，设木婉清的路径的极坐标方程为ρ（t），假设木婉清在θ度处与段誉相遇且两个人走过的路径长相等，由弧长公式可得，等式两边同时对θ求导可得微分方程。

对等式两边同时积分可得，代入初值条件可得（3.4），则木婉清的追击路径如下图所示。当（3.2）式根号外取负号时，得到的路径与图3相同。

不难发现当θ= 时木婉清和段誉相遇，且追击路径为半径为、圆心为（0，）的半圆。

同样以同济大学出版社出版的《高等数学（第七版）》为例，该案例可作为第七章微分方程——可分离变量的微分方程一节的内容；另外在第十一章曲线积分的教学中，此例还可以帮助学生理解曲线积分，同时复习定积分的应用——求弧长和微分方程的知识，作为临近学期末的课堂，有助于提高学生的综合应用能力。

4 教育心理学角度的认知

在教学中融入娱乐项目对于学好高等数学具有显著的促进作用，这一做法不仅符合教育心理学的认知规律，在实践中也是促进学生提高学习效果的有效方法。

从认知角度来看，让学生爱上学习的一个重要因素是学生是否能持续地体验到学习新东西、解决问题的愉悦感，解决策略之一就是尽量让教学中提出的问题与学生的背景、经验相联系。皮杰亚理论不主张课堂教学呈现现成的知识，而是鼓励学生自发地与环境互动，自主地发现知识。一个想学习的学生能够学会任何东西，将学习泰勒公式改为娱乐项目问题可以有效提高学习任务的内在吸引力，大家一起来思考如何帮助《星际穿越》女主躲过滔天巨浪还是机械地在通过板书陈述泰勒公式，在调动学生积极性上的差别是显而易见的，学生可能更愿意在下课前知道数学知识如何帮助女主。同时，研究表明，焦虑会使得学生难以学习知识、分散学生在任务上的注意力，而常见的使人表现失常的焦虑就是数学焦虑，尤其是对应用题束手无策。通过娱乐项目可以建立一种舒适的、合作的班级气氛来减少焦虑，训练学生掌握做题技巧和放松技巧，从而对学习效果产生积极影响。

从记忆系统的运行规律来看，如果我们进行了仔细地思考，大脑判断以后可能会再次思考，它应该被存储起来。也就是说，记忆是思考的结果，学习过程中经历的思考决定了最终进入长期记忆的内容是什么。因此，我们更希望学生通过思考来理解如何解决数学问题，进而能记住抽象的数学概念或公式。根据建构主义学习理论，学生想要真正地学到知识，就必须自己去发现和转换复杂的信息，教师可以通过给学生提供机会，使其自主发现某些概念，教师可以给学生提供梯子，但学生必须自己爬梯子。也就是说，可以将一些新概念与旧认知相结合，促使学生去思考我们忽略的问题。课程设计要使学生思考、内容贴近学生群体的日常生活，尤其针对数学这一抽象概念较多的学科来说，通过易于理解和记忆的故事来切入是更为行之有效的方法。在上述例二追击问题中，男女主变小尺寸与“绿色婴儿”的距离始终成正比，很多同学判断男女主无法追上“绿色婴儿”，但是运用何种数学方法、是否需要区分婴儿运动及不运动这两种不同的情况就使学生深入思考，自主探究得出的结论有助于学生对无穷问题形成长期记忆。

将学生日常的娱乐项目作为教学案例能够激发学生的学习兴趣与动机、降低认知负荷与焦虑，同时，能提高教学效果、培养逻辑思维与问题解决能力、提高学生的长期记忆。因此，我们应积极推广和应用这一教学方式，让学生在玩乐中学习高等数学、在学习中成长。

5 总结

本文全面剖析了高等数学教学方法的一个创新途径，核心在于将高等数学与当代大学生热衷的娱乐项目紧密结合。文章强调，传统教材虽具有内容的稳定性和权威性，但案例的时效性不足，难以引发学生的共鸣和兴趣，进而可能使学生产生对高等数学的疏离感。为解决这一问题，本文提出了创新的教学策略：通过巧妙融入电影、动漫、电视剧及小说等娱乐项目中的数学元素，为学生呈现一个更加鲜活、有趣的数学世界。文中进一步从心理学和教育学角度阐述了这种创新教学方法的积极作用，包括激发学生的学习兴趣、降低认知负荷、增强自我效能感等。本文提出的将高等数学与娱乐项目相结合的教学策略，不仅丰富了教学内容，还显著提升了学生的学习热情和教学效果，为高等数学教学的改革提供了新的思路。

本文系江苏省产学研合作项目“平面度与水平度测量的算法开发”（编号：BY20230722）研究成果。

通信作者：汤伟业