点的合成运动中加速度的理论计算方法及适用性讨论

摘"要：“理论力学”作为工科大学生的必修专业基础课，其运动学部分的教学案例主要与机械工程相关，对于土木工程专业的本科生而言非常抽象，学生学习与教师教学难度很大。为克服此问题，本文以点的合成运动中加速度合成定理的运用为基础，结合哈尔滨工业大学理论力学研究室编写的《理论力学》教材中的经典案例，归纳提出了三种不同的加速度理论计算方法：平行四边形法、直接求解法与间接求解法，并且从加速度矢量个数、计算量与存在不足等多方面讨论了三种方法的适用性。此理论方法不需要借助软件进行辅助教学与经费支持，其计算过程表述清晰，结论高度精练，适用性清楚明了，能为之后的课堂教学与学习提供参考。

关键词：点的合成运动；加速度的合成定理；平行四边形法；直接求解法；间接求解法

1"概述

力学以其技术学科的属性在工科大学生培养体系有着举足轻重的地位，以土木工程专业为例，“理论力学”作为第一门专业基础课，与后续课程关联性大，学好“理论力学”至关重要。

一般而言，“理论力学”由静力学、运动学与动力学组成，各部分所占的比例随着专业不同而不同，对于土木工程专业而言，静力学占比50%，而运动学与动力学各占比25%［1］。静力学部分相对来说是最重要的，其中理想约束类型、力矩、理想桁架、重心等概念是后续材料力学与结构力学的基础，直接影响结构设计中内力计算、截面选取等重要环节。对于动力学而言，主题是围绕力与运动的相互影响，这也与工程中结构的抗风抗震息息相关。总而言之，静力学与动力学的教学可与土木工程专业较好地结合［13］。相比而言，运动学的教学一直以来难度更大，因为教学中运动学部分的案例几乎全部与机械工程相关，而且生活中土木工程相关案例很难与运动学结合［45］，这个问题直接造成了运动学的内容更加抽象，久而久之学生接受程度偏低的现象普遍。

尽管如此，运动学是“理论力学”课程框架内的重要组成，更关键的是运动学中提到的理念实际上对动力学部分以及后续的学习影响重大。例如，刚体的平面运动可看成是随着基点的平动与绕着基点的转动，实际上在工程中大多数物体的运动，包括外运动与内运动皆可这么分解，在结构动力学中利用能量法列出细长梁横向振动的控制方程，其动能也由平动与转动两部分组成。因此，运动学部分不能简单地一带而过。

有学者提出利用通用软件Abaqus、Adam、MATLAB、Python［69］等去模拟运动学中各系统运动的全过程，此方法可以通过程序编写与建模的方式使学生获得系统中任意点或物体在任意时刻的运动状况，形成的动图可以使抽象问题直观化，但由于程序编写与模型建立需要一定的数学功底，这对于大一下学期的学生来说有较大难度。近年来，虚拟仿真技术［1011］广泛运用于基础力学教学中，但此技术推广需要相应的资金支撑，对于经费有限的地方本科院校来说压力很大。

鉴于以上所述的通用软件与虚拟仿真技术的局限性，本文提出更简单方便的理论计算方法，以运动学的难点之一——第七章《点的合成运动》中第三节《加速度的合成定理》为例［4］，结合哈尔滨工业大学理论力学研究室编制的《理论力学》教材中的经典案例，对加速度合成定理的具体应用进行讨论，归纳提出了三种不同类型的理论解法，并对相应解法的适用性进行分析，为教师与同学们提供参考。此方法既不需要软件配合，也不需要经费支持，思路清晰，优、缺点明了，易于推广。

2"一点二系三运动的选择

点的合成运动分析的第一个难点即动点与动坐标系（动系）所处位置的选择，进而可以确定牵连运动、相对运动与绝对运动。有学者提到一些经验之谈，对于带滑块与滑槽的机构，动点为滑块，动系固结于带有滑槽的构件上；对于带有套筒的机构，动点为套筒，动系固结于套筒所套的机构上。另外，也有以相对运动清晰与否为动点动系选择的衡量标准。

事实上，以上方法在运动学的分析中是存在不足的。以图1为例，凸轮偏心转动带动杆AB在滑槽内平动，当只计算AB杆运动的速度时，可随意选择动点在凸轮上或在AB杆上，如图1中左右两侧的速度分解图所示，分别计算出ve和va，两种选择计算量没有区别。但如果计算AB杆运动的加速度时，就有较大不同，众所周知，当牵连运动为定轴转动时（左侧），需要考虑科氏加速度的影响，相比于牵连运动为平行移动时（右侧），会带来更大的计算量。

综上所述，在一点二系三运动的选择时，即要遵循经验（套筒、滑槽与滑块的问题），同时要保证相对运动比较清晰简单，还要考虑牵连运动的方式，这是因为在运动学问题中速度与加速度的求解往往是密不可分、缺一不可的。

3"点的加速度合成定理

教学中所面对的案例，对于土木工程背景的学生而言非常陌生，即使教材中自带了部分动图，也只能直观地判断出点的合成运动中速度方向，而不能判断加速度的方向，尤其是牵连运动为定轴转动时，方向未定造成求解过程更加抽象，学习难度加大。本文归纳提出了三种方法：平行四边形法、直接求解法与间接求解法，并对三种方法适用性进行讨论。

3.1"平行四边形法

速度合成定理本质上是矢量合成，由于三运动中每个运动只对应了一个速度方向，所以可根据平行四边形法则——绝对运动速度在对角线的位置，轻易地定出ve和vr的方向。对于加速度的计算，平行四边形法不一定能适用，因为只要三运动中存在定轴转动或圆周运动，这类运动往往对应着的是两个加速度——法向和切向加速度，所以在加速度矢量合成中可能存在多于三个矢量，接下来一起来讨论平行四边形法的适用性。

图2（a）中，三运动中只有绝对运动是匀角速度的圆周运动，其余为平行移动，因此不存在科氏加速度，绝对加速度aa只存在法向分量指向圆心O，为满足aa在平行四边形的对角线位置，牵连加速度ae与相对加速度ar的方向只能向左和向下。图2（b）中，同样不存在科氏加速度，且牵连加速度为0，又由于相对加速度的法向分量anr指向圆心，为了满足绝对加速度aa处于对角线位置，并沿着AB杆件方向，相对加速度的切向分量atr只能指向右下方并相切。综上所述，点的加速度合成定理只有三个矢量合成时，只要围绕绝对加速度处于平行四边形的对角线位置就可以准确判断出各矢量方向，并利用计算合矢量与分矢量的方法求解，牵连运动是定轴转动（圆周运动）时，平行四边形法不适用。

3.2"直接求解法

当使用加速度合成定理，各运动的加速度矢量超过三个时，并不是所有的加速度矢量方向都是确定的，如图3中的牵连加速度的切向分量ate和相对加速度ar的方向未知，常用做法是假设其为某一方向，计算出相应结果为正，则真实与假设方向一致，反之则不一致，这种方法称为直接求解法。但是此方法有一定的局限性，在理论力学中很多例题都是利用字母表示结果，直接求解法计算出的结果难以判断正负号，如图4（a）中绝对加速度aa的方向难以用其表达式直接确定，这时候就需要利用间接求解法。

3.3"间接求解法

由于在点的合成运动分析中，速度与加速度是两个最基本的未知量，所以在加速度合成定理中，第一步可利用速度合成定理去计算出另外几个未知速度，如图4（a）中速度表达式；第二步是根据速度的大小变化去确定加速度的方向，由于凸轮匀角速度转动中OA的距离l逐渐变大，夹角θ也变大，根据速度表达式可知，绝对va与相对速度vr逐渐增大，因此绝对加速度aa与相对运动加速度的切向分量atr如图4所示；第三步是计算出未知加速度的表达式。这种方法由于先确定加速度的方向，再计算其表达式，称为间接求解法。

在间接求解法中，由于需要计算至少两个不同时刻的速度值进行比较，计算量相比于其他方法更大，逻辑性也较复杂，因此这种方法在使用中容易出现错误。如图4（b），在t1时刻，杆件OA处于水平位置，得出的速度表达式与角度φ有关，因此很多人会直接判断在套筒A绕着O作匀角速度转动过程中，牵连速度ve会随着角度φ变小而逐渐变小，进而得出牵连加速度的切向分量ate与牵连速度ve方向相反。事实上如图3（b）所知，它们的方向应该相同，这是因为在绝对速度大小va不变时，其与相对速度的夹角θ逐渐变大。此外，间接求解法可用于图2与图3中的例题，但计算过程同样更烦琐。

3.4"三种方法的适用性比较

结语

结合哈尔滨工业大学理论力学研究室编写的《理论力学》教材中的经典运动学案例，归纳了点的合成运动中三种计算加速度的理论方法：平行四边形法、直接求解法与间接求解法，并从加速度矢量个数、计算量、存在不足等多方面讨论了三种方法的适用性。所提方法不需要软件配合教学，不需要经费支持，过程表述清晰，易于教学与学习。

参考文献：

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［3］胡海岩.对理论力学课程改革的期盼［J］.力学与实践，2022，44（4）：914917.

［4］哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学［M］.9版.北京：高等教育出版社，2016.

［5］西北工业大学理论力学教研室，支希哲.理论力学［M］.3版.北京：高等教育出版社，2021.

［6］王沿朝，秦忠宝，桑媛园，等.ABAQUS数值仿真在理论力学教学中的运用［J］，教育教学论坛，2021（38）：132135.

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［8］姚文莉，李贞靖，李凯.SIMULINK在理论力学课程中的运用［J］.教育教学论坛，2020（05）：261262.

［9］张朋，贾栋梁，咸庆军，等.Python在曲线平移可视化中的应用研究［J］.现代信息科技，2024，8（2）：261262.

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［11］黄涛，胡佳恒，付佩.虚拟仿真实验在材料力学课程教学改革中的应用研究［J］.实验科学与技术，2022，20（1）：3438.

*通信作者：徐英乾（1988—"），男，汉族，江西抚州人，讲师，研究方向：从事土木工程与力学的教学与科研工作。