基于多元表征理论的高中数学教学案例分析

摘要：数学多元表征是指同一数学学习对象的多种表征形式.在高中数学学习中，单一的文字语言已经不能满足定义阐述的需要，因此，应用数学多元表征理论指导教学是提升教学质量的必经之路.本文中深入剖析一节融入了数学多元表征理论的“函数的单调性”教学案例，体会数学多元表征理论在教学中的灵活应用.

关键词：数学多元表征；单调性；教学过程

项目信息：哈尔滨师范大学高等教育教学改革研究项目“数学与应用数学专业师范生教学设计能力提升策略研究与实践”，项目编号为XJGY2023020.

数学多元表征理论是一种在数学领域中应用广泛的理论框架，旨在通过多种表征形式来深化对数学概念和问题的理解与解决.

数学多元表征理论的核心在于使用多种形式来表现和解决问题，这些形式包括口头语言、文字符号、图形图表、物理模型、情境表征和操作性表征等.这种多维度的表征方式有助于从不同角度理解和掌握数学知识，从而促进学习者的认知发展和思维能力的提升.因此，该理论具备良好的应用价值.

1 数学多元表征理论的应用价值

1.1 帮助学生深入理解数学概念

借助多元表征的学习方法探究数学概念，能有效深化学生对数学概念的理解，通过激发学生的多元化感知体验，使数学教育过程更富活力与实践性.此方法蕴含科学原理，不仅拓宽了数学概念的认知范畴，还增强了理解的深入性，从而推动学生全面而深入地掌握数学概念.

1.2 帮助学生建构良好的知识结构

教育者在授课过程中采用描述性和叙述性等多种表征方法，能够彰显数学概念的多维度的特性，并强化不同表征形式间的内在联系.通过多元视角的切入，有助于学生构筑稳固的知识架构，搭建起新旧数学概念的沟通桥梁，进而促进系统化数学概念认知框架的生成.

1.3 帮助学生提高解决问题的能力

借助数学概念的多元表征思路进行学习，在深刻掌握数学概念的前提下，对数学问题实施多元化解读，全面深入地剖析、揭示问题本质，探索解题路径，能够有效提升学生的解题能力.

2 “函数的单调性”教学案例

2.1 内容与教材分析

本课题选自普通高中教科书数学A版（人民教育出版社）必修第一册第三章第二节.

函数的单调性是高中阶段学生接触并研究的第一个函数性质，也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的性质.

学生借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数图象“上升”“下降”变化的直观特征，用文字语言描述为“随着横坐标的增大，纵坐标增大（减小）”，进一步量化，发现“随着横坐标的增大，纵坐标增大（减小）”的数学特征，获得数学符号语言表达，完成对数学概念的形式化、符号化抽象.通过函数单调递增（减）、增（减）区间以及增（减）函数概念的生成，逐步完善函数的单调性的知识体系.

2.2 教学目标

（1）通过具体实例，经历函数单调性概念的抽象过程，能说出单调递增（增函数）、单调递减（减函数）定义及其图象特征；能用例子说明“任意”等关键词的含义，发展数学抽象素养.

（2）能利用函数图象判断函数的单调性；能说出用定义判断函数单调性的步骤，能利用定义对一些简单函数的单调性给出形式化的证明，培养逻辑推理素养.

（3）通过对函数单调性定义的探究，渗透符号化与形式化、数形结合思想方法，总结从图形、文字到符号语言等价转化的研究思路，培养学生观察、判断、抽象、概括能力.

2.3 教学重难点

（1）教学重点

函数单调性的定义；运用定义法判断函数的单调性.

（2）教学难点

基于单调递增（减）的函数图象逐步抽象函数单调性的定义.

2.4 教学理念

数学多元表征理论指出，在数学学习中，相对单一表征而言，多元表征具有无可比拟的优势，且这种表征可以直接表现在数形结合的思想方法中.“单调性”的学习是学生首次接触到使用多元语言描述同一数学对象，这是数形结合的深化抽象初体验，也是数学多元表征理论呈现的优良载体.因此，本节课依照“数学多元表征”理念来设计和实施教学活动.

2.5 教学过程

（1）视觉化表征的形成

利用艾宾浩斯遗忘曲线举例，说明函数图象的升降可以体现变化趋势，回顾发现许多函数图象都具备这种“上升”“下降”的现象，请学生举例.

问题1" 哪些函数图象具备“上升”或“下降”的现象？

学生活动：能举出一次函数、二次函数等例子.

在高中阶段，把函数图象从左到右上升叫做单调递增，从左到右下降叫做单调递减.不难发现，有的函数图象同时包括单调递增、单调递减部分.

问题2" 这说明描述图象的单调递增（减）需要确定好什么要素？

学生活动：描述单调递增（减）要明确图象对应的区间.

若在某区间上，函数图象是单调递增或单调递减的，就称函数在该区间上具备单调性.

点评：经过两个问题的引导，完善学生对单调递增（减）定义的视觉化表征.

（2）言语化表征的形成

问题3" 能将单调性的图形语言等价转化为文字语言吗？

以熟悉的函数y=x2图象为例，从宏观上观察图象，总结其变化特征.

追问1：如图1，函数y=x2图象的变化特征是什么？

追问2：从微观上看，函数图象是由什么构成的？

每个点对应有坐标，所以图象的变化就意味着坐标的变化.

追问3：比如y=x2的图象从左到右先下降后上升，意味着坐标是怎样变化的？

学生活动：通过观察几何画板绘制的图象上点的变化，结合三个追问的引导，逐步抽象出单调增（减）的文字语言为“随着横坐标的增大，纵坐标先减小后增大”.

点评：此时已完成言语化表征中的口头语言、数学书面语言转化，可进一步对表征进行形式化的符号语言转化，这有利于学生形成良好的感觉记忆.

问题4" 如何用数学符号语言描述单调性？

首先研究函数y=x2在y轴右侧的变化趋势，即“随着横坐标的增大，纵坐标增大”.

注意到这里两次提到增大，思考下列问题.

追问1：至少需要研究几个对象，才能体现出增大的过程？

学生活动：回答两个、三个甚至更多，最后确定为至少两个点才能体现出增大.

追问2：如何用符号语言表述点在y轴右侧、横纵坐标的增大？

追问3：如何用符号语言体现“随着”？

学生活动：逐步尝试、修正，最后得到形式化的符号语言表述.

显然，由文字语言可得到符号语言，但要求进行等价转化.

追问4：满足该符号语言，图象能否一定递增？

追问5：不妨设无限个点满足条件，此时结论是否成立？

学生活动：思考后学生可以举出反例，如图2.

追问6：需要多少个点满足条件，才可以满足单调递增？

追问7：哪个数学符号能体现出这样的含义？

学生活动：结合所学，得出某区间上的所有点满足条件才可说明图象在该区间上单调递增，并结合所学使用全称量词进行符号语言表述.

点评：通过问题串引导，学生将表征“随着横坐标的增大，纵坐标增大”深化到形式化的符号语言表征.至此，关于单调递增（减）的言语化、视觉化表征已经完成，意味着学生能更好地形成对知识的感觉记忆，进而有利于工作记忆中各类编码的生成.

问题5" 你能类似地描述该函数在区间（－∞，0）上的变化规律吗？可借助表1梳理思路.

结论函数f（x）=x2在区间（0，+∞）上单调递增

追问：这样的符号语言是否可以用于描述其他函数图象单调递增（减）？

师生活动：得到一般的单调递增（减）函数图象的符号语言表述.教师板书总结单调性的定义.

点评：由特殊到一般，学生归纳出函数单调性的定义，体会类比表征的过程，思维得到升华；在数形结合中体会数学语言与数学图象的一致性，也是数学多元表征理论在教学中的直接体现.

（3）例题精讲，促进表征内化

利用定义，不仅可以对具备单调性的函数进行符号化的描述，而且还能判定和证明函数的单调性，以下面例题的解题过程进行示范.

例题" 根据定义研究函数y=x+1x在区间（1，+∞）上的单调性.

类比单调性定义推进例题的解决，明确需要使用作差法.

学生活动：自主完成后续证明过程.

根据例题总结用定义法判定函数单调性的一般步骤，归纳判定单调性的两种方法，即定义法、图象法.

变式" 类比上述流程，你能判断函数y=x+1x在（－∞，－1）上的单调性吗？

追问：根据单调性的结论，能否说函数y=x+1x在（－∞，－1）∪（1，+∞）上单调递增？

点评：利用定义法解决单调性的判定问题，并在此总结判定步骤，方便学生后续使用此方法.同时深化学生的感觉记忆，促进工作记忆中各类编码的生成.

（4）练习巩固，自主探索

练习1" 根据定义，研究函数f（x）=kx+b（k≠0）的单调性.

练习2" 物理学中的玻意耳定律p=kV（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大，试用函数的单调性证明.

点评：通过自主练习，进一步巩固定义法，体会数形结合、化归、分类讨论等思想方法，借单调性解释物理学中的定律，养成数学的应用意识和理性思维，促进学科融合.

（5）总结提升，明晰思路

问题6" 本节课是如何抽象出函数单调性定义的？

学生活动：结合本节课内容总结研究思路，回顾定义得出的过程.

点评：通过研究思路的总结，培养学生良好的学习习惯和思维习惯，内化多元表征的一般路径，并积累函数问题的研究思路，为后续学习函数的奇偶性作先导铺垫.

（6）布置作业，深化提升

①教材第79页练习1～4题；

②思考题：若函数f（x）对x1，x2∈D，都有f（x2）－f（x1）x2－x1gt;0，判断f（x）在D上的单调性.

点评：设置不同类型作业任务，作业①巩固所学知识的同时，提高学生的探究意识和实践能力，思考题则是为单调性等价定义的出现作铺垫，深化学生对单调性的感觉记忆，有利于工作记忆的编码生成.

在本案例中，学生经历图形语言、文字语言到符号语言的转化，形成了言语化表征和视觉化表征，有利于感觉记忆的获取.有了结构良好的感觉记忆，学生更易理解定义本身，同时方便对记忆进行编码，促进工作记忆的形成和向长时记忆的转化.