基于大单元复习课的项目化学习的教学实践

摘要：“齐次”从字面上解释是“次数相同”的意思，“齐次化”则是对方程的一种处理方法，使得方程中各项参数的次数相同.“齐次化方法”其本质是应用了更加广泛的曲线方程，该解法能够极大地简化相关计算过程，是一种很好的解题方法.熟练掌握“齐次化方法”，学生在考场上能够应对自如，手到擒来.

关键词：齐次化方法；大单元复习课；斜率；定值

大单元复习课注重课程目标与教学内容之间的整合联系，体现整体化的教学思维［1］.以项目化学习的方式整合单元知识要点，完成一个任务，串联大单元教学，能够实现知识间横向与纵向的联系与运用.在备课阶段笔者再次认真钻研教材，在理解核心素养导向下的“大单元教学”设计要求的前提下，安排教学活动，对“大单元复习课的项目化学习”的新课程体系又有了新的理解.

圆锥曲线是高考的必考知识点，也是很多学生突破高分的拦路虎，计算量大、综合性强是圆锥曲线试题的特点，因此很多学生视其为“眼中钉，肉中刺”.不过圆锥曲线题目是有规律可寻的，特别是经常遇到的“圆锥曲线过定点的两直线斜率之和与之积的证明或求值问题”.定值问题体现了圆锥曲线的统一性及其优美的几何特征，考查学生猜想、论证、类比、转化与化归等数学思想.熟练掌握“齐次化方法”，能够极大地简化解题过程，提升学生的数学运算、数学建模、逻辑推理等核心素养.只要真正做好练习和巩固，这类问题便可手到擒来.

孔子曰：“疑是思之始，学之端.”质疑是学生思想活跃的表现，培养学生的质疑精神有助于提升学生的数学核心素养.所以，教师应善于把握时机，引导学生积极主动地参与到对疑难问题的探究中，这是培养其创新品质的重要途径.

例1" 已知椭圆E：x24+y23=1上一点A1，32，过点B（0，2）的直线l（不过点A）与椭圆E交于不同的两点M，N.设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求1kAM+1kAN的值.

解：当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+2.设M（x1，y1），N（x2，y2）.

将y=kx+2代入3x2+4y2=12，消去y，得（4k2+3）x2+16kx+4=0；

消去x，得（4k2+3）y2－12y+12－12k2=0.

于是x1+x2=－16k4k2+3，x1x2=44k2+3；

y1+y2=124k2+3，y1y2=12－12k24k2+3.

易得1kAM+1kAN=x1－1y1－32+x2－1y2－32=x1y2+x2y1－32（x1+x2）－（y1+y2）+3y1－32y2－32.

所以1kAM+1kAN=2kx1x2+12－k（x1+x2）－1y1y2－32（y1+y2）+94

=8k+12－k（－16k）－（4k2+3）12－12k2－32×12+94（4k2+3）=12k2－334－3k2=－4.

当直线l的斜率不存在时，M（0，3），N（0，－3），此时1kAM+1kAN=－4.

综上，1kAM+1kAN=－4.

上面是标准解答过程，笔者原来的教学目标是利用其进行“模式化”训练.但是突然有学生提出：“老师，这个方法我们都会，但计算量太大，我们不想算，也算不对，而且考场上时间也不允许.有简便方法吗？”

接下来“向斜率看齐”，探讨新的解法.

第一步：设直线MN的方程为

m（x－1）+ny－32=1.

由直线MN过点B（0，2），得n=2（1+m）.

第二步：“配凑”椭圆方程，得

3（x－1+1）2+4y－32+322=12.

整理得4y－322+3（x－1）2+6（x－1）+12y－32=0.

第三步：也是关键的一步，如何使得方程的各项参数的次数相同.

将整理后的椭圆方程“齐次化”为

4y－322+3（x－1）2+6（x－1）+12y－32＼5m（x－1）+ny－32=0.

整理得（4+12n）y－322+（6n+12m）（x－1）＼5y－32+（3+6m）（x－1）2=0.

第四步：等式两边同除以（x－1）2，得

（4+12n）y－322（x－1）2+（6n+12m）y－32x－1+（3+6m）=0，

即（4+12n）k2+（6n+12m）k+（3+6m）=0.

由韦达定理，得

kAM+kAN=－6n+12m4+12n，kAMkAN=3+6m4+12n.

第五步：代入求值，有1kAM+1kAN=kAM+kANkAMkAN=－6n+12m3+6m=－12（1+m）+12m3（1+2m）=－4.

以上解题方法我们称它为“齐次化方法”.利用齐次化方法求解圆锥曲线中与斜率有关的定值问题，能够避免复杂的计算化简过程，又快又准地完成解题.

例2" （2017年新课标全国I卷理科＼520）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3－1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过点P2且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率之和－1，证明：l过定点.

（1）解：易求得椭圆C的方程为x24+y2=1.

（2）证明：椭圆方程“配凑”为x2+4（y－1+1）2=4.

整理，得x2+4（y－1）2+8（y－1）=0.

设直线l的方程为mx+n（y－1）=1，利用“齐次化方法”整理得

x2+4（y－1）2+8（y－1）·［mx+n（y－1）］=0，

即（4+8n）（y－1）2+8m（y－1）·x+x2=0.

等式两边同除以x2，得

（4+8n）（y－1）2x2+8my－1x+1=0.

由韦达定理，得kP2A+kP2B=－8m4+8n=－1.

解得m=1+2n2.

把m=1+2n2代入直线l的方程，得到1+2n2x+n（y－1）=1，可以解得直线过定点（2，－1）.

例3" 已知A，B为椭圆x24+y2=1的左、右顶点，直线y=kx+m交椭圆于C，D两点，直线AC的斜率是直线BD的斜率3倍.

（1）若P为椭圆上异于A，B的一点，证明：直线PA和PB斜率的之积为常数;

（2）证明：直线CD过定点.

证明：（1）由题意知A（－2，0），B（2，0）.设P（x，y），则kPA·kPB=yx+2·yx－2=y2x2－4=－14.

（2）由（1）知kDA·kBD=－14.又kAC=3kBD，所以kDA·kAC=－34.

椭圆方程可变形为（x+2－2）2+4y2=4，即

（x+2）2－4（x+2）+4y2=0.

①

设直线CD的方程为m（x+2）+ny=1，将其代入①式得

（x+2）2－4（x+2）·［m（x+2）+ny］+4y2=0.

整理，得（1－4m）（x+2）2－4n（x+2）y+4y2=0.

两边同除以（x+2）2，得

（1－4m）－4n＼5yx+2+4＼5y2（x+2）2=0.

所以kDA·kAC=1－4m4=－34，解得m=1.

把m=1代入直线方程m（x+2）+ny=1，可知直线CD过定点（－1，0）.

例4" （2023年新高考II卷＼521）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（－25，0），离心率为5.

（1）求C的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（－4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，点M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，求证：点P在定直线上.

（1）解：易求得双曲线C的方程为x24－y216=1.

（2）证明：利用“齐次化方法”可得到过同一点的两条直线斜率之间的关系kMA2·kNA2=－43.

又kMA2·kMA1=4，所以kMA1=－3kNA2.

直线MA：y=kMA1（x+2）=－3kNA2·（x+2），直线NA2：y=kNA2（x－2）.

联立方程组，解得x=－1.

因此点P在定直线x=－1上.

例5" （2005年山东卷理科＼522）已知动圆过定点p2，0，且与定直线x=－p2相切，其中pgt;0.

（1）求动圆圆心C的轨迹方程；

（2）设A，B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，当α，β变化且α+β为定值θ（0lt;θlt;π）时，证明直线AB恒过定点，并求出定点的坐标.

解：（1）易求得动圆圆心C的轨迹方程为y2=2px.

（2）设直线AB的方程为y=kx+b，即y－kxb=1，代入方程y2=2px中得y2=2px·y－kxb.

整理，得by2－2pxy+2pkx2=0.

因为x≠0，

所以byx2－2p＼5yx+2pk=0，则

tan α+tan β=2pb，tan αtan β=2pkb.

于是可得tan θ=tan （α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=2pb1－2pkb=2pb－2pk，则

b=2pk+2ptan θ.

所以，直线AB的方程为y=kx+2pk+2ptan θ，即y=k（x+2p）+2ptan θ.

故直线AB恒过定点－2p，2ptan θ.

当θ=π2时，由α+β=π2，得tan αtan β=1，即2pkb=1，则b=2pk，此时

直线AB：y=k（x+2p），因此直线AB过定点（－2p，0）.

对于圆锥曲线，笔者整理总结出以下一般性的结论：

（1）已知P0（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上一定点，过点P作斜率为k1，k2的两条直线分别与椭圆交于M，N两点.

①若k1+k2=λ（λ≠0），则直线MN过定点x0－2y0λ，－y0－2b2x0λa2；

②若k1·k2=λλ≠b2a2，则直线MN过定点λa2+b2λa2－b2x0，－λa2+b2λa2－b2y0.

（2）已知P0（x0，y0）为双曲线x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）上一定点，过点P作斜率为k1，k2的两条直线分别与双曲线交于M，N两点.

①若k1+k2=λ（λ≠0），则直线MN过定点x0－2y0λ，－y0+2b2x0λa2；

②若k1·k2=λλ≠-b2a2，则直线MN过定点λa2－b2λa2+b2x0，－λa2－b2λa2+b2y0.

（3）已知P0（x0，y0）为抛物线y2=2px（pgt;0）上一定点，过点P作斜率为k1，k2的两条直线分别与抛物线交于M，N两点.

①若k1+k2=λ（λ≠0），则直线MN过定点x0－2y0λ，－y0+2pλ；

②若k1·k2=λλ≠0，则直线MN过定点x0－2pλ，－y0.

数学家波利亚曾说：“掌握数学就是意味着善于解题.”笔者通过历年高考真题以及练习题，用“大单元复习课的项目化学习”的一种新的教学方式，让学生不仅完成了用“齐次化方法”求解圆锥曲线有关的斜率定值问题的任务，更重要的是串联起圆锥曲线这个大单元知识点的学习，实现知识间横向与纵向的联系与运用，能够举一反三，形成一个知识体系.

参考文献：

［1］王秀彩，刘嘉，孔志文，等.高中数学大单元主题教学结构化的实践研究［J］.中学数学教学参考，2023（22）：72-76.