高中物理近似运算中的困惑与解决策略

摘" "要：由于高中生对近似运算相关知识的缺失和混沌现象的存在，使其对高中物理教科书中的近似运算过程产生困惑。给出了结合高中数学知识先推导精确结果再进行近似运算的解决策略，建议教科书编写与教学设计要切合学生的数学基础与认知能力。

关键词：高中物理；近似运算；双缝干涉；条纹间距公式

中图分类号：G633.7 文献标识码：A " " 文章编号：1003-6148（2025）1-0072-3

1" " 高中物理近似运算中的困惑

现行人教版高中物理教科书中有不少问题涉及近似运算，但近似运算只停留在告诉学生可以那样运算，却没有很好地提供可以那样运算的理由，这就形成了典型的灌输式教学。学生凭借死记硬背来掌握相关知识点，无疑在增加学习负担的同时也使学生失去了学习的兴趣。加上高中物理教师对近似运算知识的缺乏，不能给学生足够的指导，近似运算在学生心中变得神秘莫测，产生了诸如“反正书上是这样写的，这样写就是对的”等主动放弃批判性思维的认识，“小了就都近似相等了（比如当θ角很小时，有θ=sinθ=tanθ）”等错误认识。此外，很多学生都了解作为一种混沌现象的蝴蝶效应——一只南美洲的蝴蝶扇动翅膀，结果可能引发美国德克萨斯州的一场龙卷风。20世纪60年代初，美国气象学家洛伦兹将仅仅相差0.0001的两个初始条件输入一个数学方程，计算得出的两条曲线不久就分道扬镳、南辕北辙，真是“差之毫厘，谬以千里”［1］。这就进一步加剧了近似运算对学生的神秘感。因为高中物理教科书上的近似运算从一开始便采用近似处理，这些近似处理会不会像洛伦兹所面对的问题一样在计算的过程中产生“混沌现象”使结果严重偏离真实值呢？学生对此毫不知情。综上，有两个原因使学生在学习近似运算相关的问题时遇到巨大的困难，以至于产生不良的学习效果，挫伤学生学习的自信心，阻碍核心素养的发展：

（1）近似运算相关知识的缺失；

（2）混沌现象的存在（微小的初值差别，使结果差异巨大）。

下面以双缝干涉条纹间距公式的推导为例，进行具体说明。人教版高中物理教科书中的推导如下：如图1所示，在线段P1S2上作P1M=P1S1，由于两缝之间的距离d远远小于缝到屏幕的距离l，所以能够认为三角形S1S2M是直角三角形。根据三角函数关系，有r2-r1=dsinθ，另一方面x=ltanθ≈lsinθ，消去sinθ，有r2-r1=d。当r2-r1=nλ时，出现亮条纹，因此亮纹中心的位置为x=nλ。相邻两条亮条纹或暗条纹的中心间距是Δx=λ。

教科书中的证明初看并不复杂，但高中生却不容易理解。一是为什么在θ很小的情况下，用弧度制表示的θ与sinθ、tanθ近似相等；二是为什么两缝之间的距离d远远小于缝到屏幕的距离l，就可以认为三角形S1S2M是直角三角形［2］；三是开始运算时物理量的近似会不会导致最后结果偏差较大。很明显，前两点是由于近似运算知识的缺失而带来的疑惑，第三点是由于混沌现象而带来的疑惑。但是，近似运算知识需要运用高等数学进行解释，高中生不具备这个知识基础，因而无法理解近似运算知识，对混沌现象也只是了解其大概。至于在推导中会不会对结果产生大幅度的影响，学生也无从得知。可见，教科书中公式的推导方法远远超出了学生的认知，高中阶段的学生不能把握，更不能很好地理解和运用，需要探求新的方法。

2" " 高中物理近似运算的解决策略

为了解决学生近似运算知识不足的问题，可以使用高中数学知识进行推导。为了避免混沌现象的出现，可以先进行精确的推导，最后再进行近似（如果有必要的话），避免在推导开始的时候就进行近似。总之，选择的推导方式应该符合学生的知识基础和认知能力，使学生真正理解推导的过程，做到举一反三、灵活运用，进而提升分析问题和解决问题的能力，最终实现物理学科核心素养的提升。

为了推导双缝干涉条纹间距公式，可以在图1中建立平面直角坐标系，坐标系的原点置于图中的O点，x轴与S1S2重合，y轴与OP0重合（图中未画出）。容易得到，两缝S1、S2距离之差等于nλ的点的轨迹是一对双曲线。双曲线的标准方程是-=1。相当于标准方程中的a，相当于半焦距c，标准方程中的b2=c2-a2=（）2-（）2，代入双曲线的标准方程可得

上式是精确的x的表达式，但比较复杂，物理学中常用抓住主要因素、忽略次要因素的方法对复杂的结果进行简化，在不失科学性的同时得到简单的物理规律。通过分析精确表达式中各个物理量的数量级，可以有效把握近似计算过程中产生的误差是否为次要的、可忽略的。学生也可以在这个过程中明确何谓“次要”，何谓“主要”，哪些可以忽略，哪些不可以忽略。这样做可以增加学生对具体数字的敏感度，在数字的意义上明确“抓住主要，忽略次要”的意义，从根本上提升学生的认知。

d的数量级为10-4 m，λ的数量级为10-7 m，故d2-n2λ2≈d2，x的表达式简化为

x=nλ

上式中l的数量级为100 m，d的数量级为 10-4 m。故≈104，+≈，x的表达式简化为

x=nλ=nλ

当上式中的n分别取0、1、2、3时，代表x处到双缝的距离之差从0到λ、2λ、3λ…不同的x值构成一个等差数列，公差为λ，这说明：

（1）条纹是等间距的；

（2）相邻两明或暗条纹的间距为λ。

至此，找到了条纹间距公式Δx=λ。双缝干涉实验中亮条纹或暗条纹等间距的事实是对该公式正确性的一种肯定。

3" " 启" 示

利用高中数学，先将精确公式推导出来，再对结果进行近似的方法，避免了近似运算相关知识的缺失和混沌现象的存在而给学生带来的困惑。高中物理教科书中除条纹间距公式推导外，还有单摆周期公式的推导、回旋加速器中运动时间计算等诸多需要进行近似计算的问题。虽然本文仅讨论了双缝干涉条纹间距公式的推导，但其原则与方法可以用到其他情境中去。

以学生为中心，并不简单地只是让学生学、让学生交流、让学生展示，还应该在教科书编写和教学设计的过程中考虑学生的知识基础和认识能力。人教版高中物理教科书关于双缝干涉条纹间距公式的推导采用了看似简单、实则是以复杂的数学为基础、以学生未知的混沌现象为未知风险的推导方式，显然未充分考虑学生的基础和认知能力。教科书中的这种推导方式超出了学生的最近发展区，使学生跳几跳也够不着，最后在教科书的权威下产生困惑和无奈的情感，进而失去批判的信心，丧失奋斗的精神，最终形成习得性无助，对后续学习造成损害的同时，也损害了学生的身心健康。人的发展既有连续性，又有阶段性［3］。跨跃了学生的认识阶段，超出了学生认知范畴的教科书编写和教学设计，不但收不到好的效果，还会带来不利的影响。

教科书编写与教学设计也不能明显低于学生的基础与认知。同时，教师在教学中要努力提高自己对学生的认识，了解学生的基础，尤其是学生的数学基础。现阶段，由于各种原因，高中物理解决问题时几乎局限和僵化在了用方程解决物理问题这一条思路上，高中数学中的向量、函数、数列、解析几何、立体几何等数学知识和方法并没有得到广泛的应用。如果是高中物理问题都用初中数学知识解答，而初中物理都用小学数学知识解答，就不利于数学与物理两个学科的融合，也不利于学生综合素质的提高，更不利于拔尖创新人才的培养。

参考文献：

［1］人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书物理必修1［M］.北京：人民教育出版社，2006：5.

［2］江立坤，陈紫鹏.双缝干涉中相邻亮条纹间距公式的巧证［J］.湖南中学物理，2012，27（10）：45，26.

［3］刘献君.论“以学生为中心”［J］.高等教育研究，2012，33（8）：1-6.

（栏目编辑" " 蒋小平）